论文多项式的因式分解的方法

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可见，-2是单根。 所以

f?x?=x3?3x2?8x?12=?x?2??x2?x?6?.

所以

x4?2x3?5x2?4x?12=?x?1??x?2??x2?x?6?.

例14 在有理数域上分解多项式x5?2x4?x3?x2?2x?1.

分析 这是与首末两项等距离的项的系数成相反数，必然有系数和等于0，所以1是x5?2x4?x3?x2?2x?1?0的根，所以多项式可以化为

?x?1??x4?3x3?2x2?3x?1? ，

下面分解多项式x4?3x3?2x2?3x?1 .

把多项式x4?3x3?2x2?3x?1的各项除以x2，经整理，转化为方程

?x2?1x2??3?x?1x??2?0.

用换元法 ,令x?1x?y，有

x2?1x2?y2?2，

代入得?y2?2??3y?2?0，即y2?3y?0， 解之得

y1?0,y2??3.

于是

x?1x?0 或 x?1x??3，

解之得

x1?i，x2??i，x3?所以

?3?5?3?5，x4?. 22第 13 页 共 16 页

??3?5??3?5?x?3x?2x?3x?1=?x?i??x?i?????x???x?2?? 2????432??3?5??3?5?2x?1x?x?=??????????. 22????故

x5?2x4?x3?x2?2x?1

??3?5??3?5?=?x?1??x?1?????x???x?2?? 2????2=

?x?1??x2?1??x2?3x?1?.

11 一元三次多项式因式分解的方法1 (分组分解法)

（参见文献?5?）此方法是通过加项、减项或者拆项把一元三次多项式分解成二组，然后分别进行因式分解，再提取公因式，整理后再进行分解。

例15 将多项式f?x?=x3?4x2?x?6在有理数域上进行因式分解。 解 原式=?x3?2x2?3x????2x2?4x?6?

=x?x2?2x?3??2?x2?2x?3?

=?x?2??x2?2x?3? =?x?2??x?1??x?3?.

12 一元三次多项式因式分解的方法2( 赋10还原法)

（参见文献?5?）这种方法实质是一种探索性猜想与演绎。我们猜想此多项式的分解式可能是三个一次因式的乘积，也可能是一个一次因式与一个二次因式的乘积，再通过特例来进行演绎以验证猜想的合理性。这里令x?10代入计算出结果，再将其分解成各个质因数的乘积，经试探之后，合理组合成三个因数或者二个因数的乘积，然后把它拆成10（或者10的倍数）与其余数的和或者差，再把10还原成x，经多次探索、验证之后可得到答案。

例16 将多项式x3?4x2?x?6在有理数域上进行因式分解。

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11, 7·102?10?6=616=23·解 设f?x?=x3?4x2?x?6，则f?10??103?4·7·11=?10?2??10?3??10?1?， 注意到x3的系数为1，可将f?10?重新组合得f?10??8·猜想f?x?=?x?2??x?3??x?1?，经验证可知，此分解是正确的。

例17 将多项式2x3?x2?1在有理数域上进行因式分解。

211, 103?102?1=1899=32·解 设f?x?=2x3?x2?1，则f?10??2·因为211是质数，不能再分解。经探索可知，原多项式不可能分解成三个一次因式的乘积，可将f?10?适当重新组合成

211=?10?1??2·102?10?1?， f?10??9·猜想f?x?=?x?1??2x2?x?1?，经验证可知，此分解是正确的。

以上我们介绍了一元多项式因式分解的方法。其中方法一（求根法）：书写简洁，思路清晰，不容易出错，但它必须建立在多项式有有理根的基础上，且若多项式需要检验的因子很多，而每个因子都要做一次相应的除法，这就给计算增加了一些麻烦，所以当可能的有理根比较少时采用综合除法；方法二（待定系数法）：比较基础，也比较直接，但会涉及求解方程组，计算量往往也不小，只有预先观察多项式的最高次项系数与常数项系数，同时找出多项式的有理根，才能有效降低待定系数法的难度；方法三（重因式分离法）及方法四（矩阵的初等行变换法）是线性代数中的两个基本方法，用途非常广泛，但它们都是建立在多项式有重因式的基础上，如果多项式没有重因式的话，这两种方法都无法使用；方法五（行列式法）和方法六（单位根法）的观念比较新颖，但技巧性较强，操作有一定的难度，即是说，我们在进行多项式的因式分解时，行列式法和单位根法可以作为备用方法，但不是首选方法。本文还列出了典型且特殊的多项式分解因式的方法，如方法七至方法十二。

参考文献

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