中考数学-2015年山东省淄博市中考数学试题及解析

三.解答题（共7小题，共52分） 8．（5分）（2015?淄博）计算：（

+

）×

．

考点： 二次根式的混合运算． 分析： 首先应用乘法分配律，可得（+）×=×+×+；然后根据二次根）×的值是多式的混合运算顺序，先计算乘法，再计算加法，求出算式（少即可． 解答： 解：（+=×+）×× =1+9 =10 点评： 此题主要考查了二次根式的混合运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式”，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式”． 9．（5分）（2015?淄博）在学校组织的社会实践活动中，甲、乙两人参加了射击比赛，每人射击七次，命中的环数如表： 序号 一 二 三 四 五 六 七 7 8 8 6 9 8 10 甲命中的环数（环） 5 10 6 7 8 10 10 乙命中的环数（环） 根据以上信息，解决一下问题： （1）写出甲、乙两人命中环数的众数； （2）已知通过计算器求得

=8，s甲≈1.43，试比较甲、乙两人谁的成绩更稳定？

2

考点： 方差；众数． 分析： （1）根据众数的定义解答即可； （2）根据已知条件中的数据计算出乙的方差和平均数，再和甲比较即可． 解答： 解：（1）由题意可知：甲的众数为8，乙的众数为10； （2）乙的平均数=乙的方差为：S∵得2乙=8， ≈3.71． =[（5﹣8）2+（10﹣8）2+…+（10﹣8）2]==8，s甲≈1.43， 2∴甲乙的平均成绩一样，而甲的方差小于乙的方差， ∴甲的成绩更稳定． 点评： 本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组第9页（共15页）

数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 10．（8分）（2015?淄博）在直角坐标系中，一条直线经过A（﹣1，5），P（﹣2，a），B（3，﹣3）三点． （1）求a的值；

（2）设这条直线与y轴相交于点D，求△OPD的面积． 考点： 待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象上点的坐标特征． 分析： （1）利用待定系数法解答解析式即可； （2）得出直线与y轴相交于点D的坐标，再利用三角形面积公式解答即可． 解答： 解：（1）设直线的解析式为y=kx+b，把A（﹣1，5），B（3，﹣3）代入， 可得：， 解得：， 所以直线解析式为：y=﹣2x+3， 把P（﹣2，a）代入y=﹣2x+3中， 得：a=7； （2）由（1）得点P的坐标为（﹣2，7）， 令x=0，则y=3， 所以直线与y轴的交点坐标为（0，3）， 所以△OPD的面积=． 点评： 此题考查一次函数问题，关键是根据待定系数法解解析式． 11．（8分）（2015?淄博）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，点D是AB的中点，点P是AB上的一个动点（点P与点A、B不重合），矩形PECF的顶点E，F分别在BC，AC上．

（1）探究DE与DF的关系，并给出证明；

（2）当点P满足什么条件时，线段EF的长最短？（直接给出结论，不必说明理由）

考点： 全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；矩形的性质． 分析： （1）连接CD，首先根据△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，点D是AB的中点得到CD=AD，CD⊥AD，然后根据四边形PECF是矩形得到△APE是等腰直角三角形，从而得到△DCE≌△DAF，证得DE=DF，DE⊥DF； 第10页（共15页）

（2）根据DE=DF，DE⊥DF，得到EF=DE=DF，从而得到当DE和DF同时最短时，EF最短得到此时点P与点D重合线段EF最短． 解答： 解：（1）DE=DF，DE⊥DF， 证明：连接CD， ∵△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，点D是AB的中点， ∴CD=AD，CD⊥AD， ∵四边形PECF是矩形， ∴CE=FP，FP∥CB， ∴△APE是等腰直角三角形， ∴AF=PF=EC， ∴∠DCE=∠A=45°， ∴△DCE≌△DAF， ∴DE=DF，∠ADF=∠CDE， ∵∠CDA=90°， ∴∠EDF=90°， ∴DE=DF，DE⊥DF； （2）∵DE=DF，DE⊥DF， ∴EF=DE=DF， ∴当DE和DF同时最短时，EF最短， ∴当DF⊥AC，DE⊥AB时，二者最短， ∴此时点P与点D重合， ∴点P与点D重合时，线段EF最短． 点评： 本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形及矩形的性质，解题的关键是能够证得两个三角形全等，难度不大． 12．（8分）（2015?淄博）为充分利用雨水资源，幸福村的小明家和相邻的爷爷家采取了修建蓄水池、屋顶收集雨水的做法．已知小明和爷爷家的屋顶收集雨水的面积、蓄水池的容积和蓄水池已有水的量如表： 小明家 爷爷家 2120 屋顶收集雨水面积（m） 160 350 13 蓄水池容积（m） 334 11.5 蓄水池已有水量（m） 气象预报即将会下雨，为了收集尽可能多的雨水，下雨前需从爷爷家的蓄水池中抽取多少立方米的水注入小明家的蓄水池？ 考点： 分式方程的应用． 第11页（共15页）

分析： 由题意可知：屋顶收集雨水面积的比等于所收集雨水体积的比，由此设出未知数，列出方程解答即可． 解答： 解：下雨前需从爷爷家的蓄水池中抽取x立方米的水注入小明家的蓄水池，由题意得 =， 解得：x=6， 经检验：x=6是所列方程的根． 答：下雨前需从爷爷家的蓄水池中抽取6立方米的水注入小明家的蓄水池． 点评： 此题考查分式方程的实际运用，利用底面积的比与体积的比相同联立方程是解决问题的关键． 13．（9分）（2015?淄博）如图，在△ABC中，点P是BC边上任意一点（点P与点B，C不重合），平行四边形AFPE的顶点F，E分别在AB，AC上．已知BC=2，S△ABC=1．设BP=x，平行四边形AFPE的面积为y． （1）求y与x的函数关系式；

（2）上述函数有最大值或最小值吗？若有，则当x取何值时，y有这样的值，并求出该值；若没有，请说明理由．

考点： 相似三角形的判定与性质；二次函数的最值；平行四边形的性质． 分析： （1）由平行四边形的性质得出PF∥CA，证出△BFP∽△BAC，得出面积比等于相似比的平方，得出S△BFP=式； ，同理：S△PEC=（），即可得出y与x的函数关系2（2）由﹣＜0得出y有最大值，把（1）中函数关系式化成顶点式，即可得出结果． 解答： 解：（1）∵四边形AFPE是平行四边形， ∴PF∥CA， ∴△BFP∽△BAC， ∴=（）， 2∵S△ABC=1， ∴S△BFP=， ）， 2同理：S△PEC=（第12页（共15页）