高中数学教学中的留白艺术

高中数学教学中的留白艺术

怀化市铁路第一中学 高用

1 留白的含义

留白是国画艺术的一种表现手法，顾名思义就是在画作中故意地留下一些空白，以达到一种“此处无物胜有物”的艺术效果，从而给人留以无限的遐想空间．在文学、书法、音乐等其他艺术中也多有“不着一字，而神形俱备”，“此时无声胜有声”的留白，都是希望给欣赏者以启迪、思考，把艺术构思与欣赏者的想象结合起来，拓展作品的意境．在教学中，教师亦可在各个环节中，恰当、巧妙、有意地留点空白，给学生一个自由思维的空间，引起学生的联想和创新，激发学生积极探索的求知欲，进而提高教学效率．

2 数学教学中留白艺术的心理基础 格式塔心理学派认为：“人们的知觉对不完整的图形或残缺的图形有一种使其完整的倾向”．也就是说，人们在面对一种不完美即有缺陷有空白的格式塔刺激时，会情不自禁地产生一种急于要求改变它的趋向．比如说，如果你在一张白纸上画一个圆圈，但在快要成圆时被迫停止了，再回头瞧一下这个圆时，脑子里必定会闪现出要填补这一段空白弧的意念，这就是“空白”刺激而产生的一种心理张力，这种心理张力强烈地驱使着人们填补空白的欲望．在数学过程中，学生对数学知识的获取是一个寻求完美的过程，教师故意地留白，会导致学生产生强烈的填补空白的欲望，从而引起求知的内在驱力．

3 数学教学中留白艺术的必要性 苏霍姆林斯基说过：“教师必须懂得什么该讲，什么不该讲，不该讲的东西就好比是学生思维的引爆管，马上使学生在思维中出现问题．”新课程标准下，要以学生为主体，充分激发学生自主思考，自主探究．这就要求数学教师在教学过程中，对于有思考价值的问题，教师要给学生留下思考的空白，在教师的适度引导下，让学生自己想明白，自己去发现，这也是数学课堂所具有的思维特性决定的．

传统的教学方法通常是老师讲，学生听；老师写，学生抄．结果是累了老师，也困了学生，学生光听光记，不思不想，少思少想，甚至听腻了，烦了，听不进去了．无疑，这是达不到预期的教学效果的．皮亚杰强调：“教师的工作不是‘教给’学生什么，而是努力构建学生的知识结构，并用种种方法来刺激学生的欲望，这样学习对于学生就是一个主动参与的过程了．”老师讲得太多，讲得一清二楚，让学生无需动脑而坐享其成，只会增强学生的惰性，侵占学生的思维空间，泯灭创新的火花．一堂好课，并不是老师讲得有多清楚多明白，而是要让学生想清楚想明白；数学教学的目的也不在于教师把知识传授得如何系统、完整，而是在于使学生如何获得系统、完整的知识，提高数学思维能力．

所以，在教学过程中，教师若有分寸地留点空白，可以引发学生思考，提高学生能力，促进学生更好得学习和掌握知识，从而达到高效课堂的目的．

4 数学教学中留白艺术的教学策略 每一节课上都有阻挡学生认知的“结”，传统数学课堂的授课方式是教师给学生示范如何解这个“结”，然而留白艺术是教师通过适时地留空白给学生思考，引导学生自己去解这个“结”，是真正意义上的“授之以渔”．

4.1 知识探究处留白 这不是回避关键，知难而退，而是更好的帮助学生突破难点，强化重点的重要手段之一，当学生正处于杂乱无序的思维中，唯有经历静思、顿悟，才能达到余地生辉的妙境．实践中随教学内容的深入，教师在讲课时适当地留白，可使学生在认识概念的基础上进一步加深对概念的理解．例如在讲述立体几何“直线与平面垂直的判定”一节时，在引导学生观察一些

生活中实例（如何把书直立于桌上、简易木架等）之后可设计如下问题进行留白：要求学生用笔作直线，桌面当平面通过实践操作思考：

（1） 如果一直线和平面内一条直线垂直，此直线是否与平面垂直？ （2） 一直线和平面内两条直线垂直，则此直线是否与平面垂直？ （3） 要确保线面垂直，平面内需要多少条直线与该直线垂直？ （4） “一条直线垂直于平面内的两条直线，则线面垂直”，这个判断对不对？该如何修正？

通过对上述问题的思考，让学生自己总结出直线与平面垂直的判定定理，是真正的“再发现”过程．这样既加深了学生对判定定理的理解，又培养了他们的动手能力和想象能力，并加深了学生思维的深刻性．

又如，推导余弦定理时，向量方法虽然简单但是学生难以想到，多数教师在教学中都是直接告诉学生如何推导．其实可以设计如下引导性的问题进行留白，让学生自行思考：

（1） 在三角形中，已知两边及夹角，如何利用两边及夹角“表示”第三边？（通过联想，学生不难想到以两边所在向量作为基底来表示第三边．）

（2） 如何求出第三边的长？（边长即是向量的模，遇模就平方．） 通过这样的问题留白，用向量来推导余弦定理便是水到渠成的事情． 4. 2 认知冲突时留白

当一个人的已有知识和经验与目前面临的情境发生冲突时，人们往往会产生许多空白，从而引起人们的惊奇，引起他们的注意、关心和探索，因而在心理上产生填补这些空白的强烈欲望．在教学中，要善于抓住和把握学生的这种心理因素，适当留点空白，会效果倍增．

如学生有初中由变量关系出发的函数概念要转换成高中由映射角度出发的函数概念有着相当的困难．因此在上函数的新授课时就可以向学生介绍下面两个数学历史上有名的函数：

???4,2k??x?2k????（1） y??0,x?2k?????,2k????x?2k??2??4?1,x为有理数 （2） y???0,x为无理数（1）可以画出函数图象，（2）根本就画不出图象，是不是函数呢？然后让学生进行思考、讨论．就当时学生的认知水平来看，会得出不是函数的结论．通过这种留白的方式让学生产生了认知冲突，激发了更大的学习兴趣，这就为下面的函数的概念教学奠定了基础．

4.3 学习误区处留白

在教学中，学生先前的错误的感觉、印象、观念、学习习惯的思维定势往往影响学生形成科学的数学概念和原理，致使学习进入误区．教师要针对误区，留下空白，充分暴露问题，纠正和理顺学生的思路，发展学生思维能力，帮助学生走出误区．

?2sin2x+sinx+3(0?x?)的最小值． 例如，求函数y=2sinx有学生这样求解：

y?2sinx?33?1?22sinx??1?26?1．所以最小值为26+1． sinxsinx可向学生提问：这个解法正确吗？当x取何值时取等号呢？学生立即着手计算，发现当且仅当sinx=6时取等号，而sinx?1，故函数取不到最小值26+1，解法是错误的．教2师因势利导：利用基本不等式求最值要保证“一正，二定，三相等”，这三点缺一不可．这个题保证不了“取等”就不能使用基本不等式，那么该如何求解呢？经过认真思考，学生发现可以通过换元，令t=sinx，则y=2t++1，0?t?1，这不就是双勾函数！（如果不知道双勾函数，学生也不难想到通过求函数单调性进而求最小值）于是，利用双勾函数的单调性求最小值，最小值为6.

4.4 提高梯度处留白 教师讲课不可太“实”，应有所“虚”，若自己什么都讲到位，讲得很精彩，效果不一定好．教学的最终目的不是教师“教好”，而应该是学生“学好”，要培养学生自主而高效的学习习惯，需要给学生创造宽松的学习环境，不宜将知识和盘托出，要留有余地，留有思维的空间，让学生有自己的思考，并对知识有一个回味领悟的过程．

例如，在讲二次函数求值域的问题时，笔者设计了如下几个题目：

（1）求函数y=x2-2x+3的值域．

（2）求函数y?x2?2x?3,x?[?1,2]的值域． （3）求函数y?x2?ax?3,x?[?1,2]的值域．

在与学生一起分析完前两题后，笔者把第（3）题完全抛给了学生，结果多数学生都发现了对对称轴进行分类讨论，并且做得相当好．而相比教师自己讲，学生往往弄不清为什么要分类讨论，怎么分类讨论，效果不言自明．

4.5 结尾处留白

课堂结尾是一堂课走向成功的最后一步，若留好白，则会让学生的思维的到升华，也会激发学生进一步探究的兴趣，并取得“言有尽而意无穷”的效果．课堂结尾处留白有两种，一种是课堂小结的留白，一种是课后思考的留白．课堂小结是针对讲授内容所作的简短的系统性、概括性、延伸性的总结，在传统教学中，教师总习惯性的在最后几分钟内洋洋洒洒地替学生小结一番，而往往效果不佳．其实，在课堂小结出适当留点白，不仅便于学生暴露出问题，更有助于内化其知识系统．

例如，在讲授《函数y?Asin(?x??)的图象》这节课时，笔者在课堂小结时提问：如何由y=sinx的图象变换成y?Asin(?x??)的图象？学生通过回忆课堂新知，自我总结规律，提炼出了“先平移和伸缩”与“先伸缩后平移”两种不同变换方法，部分学生在此过程中暴露出了问题，并在思考后完成了更正．

课后思考的留白可以激发学生的学习兴趣，促进学生课后进行“再思考”，仿佛是教师种在学生脑袋里的一枚种子，可以在思考中茁壮成长，结出智慧的果实．例如，教师带领学生学完正切函数y=tanx图象及性质，在课后可以让学生去研究y=tanx的图象及性质．这样即可以巩固课堂所学知识，又有一定的延伸，提高学生的思维能力．

5 数学教学中留白艺术应注意的问题

3t5.1 留白注意适度性

教师在课堂上留“空白”要适度，一节课不要到处设置“空白”．“空白”太多，会针对性不强，主次不明，教与学只会定格在简单的一问一答上，使创新思维追求的广度和深度无法实现．“空白”内容既不能过于复杂，也不能太过简单，太复杂需要太长的时间进行研究或者没办法研究，太简单学生容易得出结果，从而失去探究的兴趣．空白跨度也不能太大，否则会出现冷场现象． 5.2 留白注意目的性

留白是课堂教学的一个组成部分，是为一定的教学目的服务的，它必须服从于课堂教学的内容和目标，这就要求设置空白有明确的目的性和针对性，从实际出发适时而行． 5.3 留白要注意选择性

教师教学中的“虚”是为了学生思维的“实”．空白是教师语言的停顿，并不是思维过程的中断，设置空白就是给学生提出思维的材料和动力，点燃学生探求的火花，牵引学生主动求知的心理，获得反馈后学生矫正思路．因此，设置空白常选择学生感兴趣，最关注同时寓意深刻、耐人寻味或者与学生认知冲突的材料．不能单纯为了吸引学生而游离教学内容之外，冲淡了教学的主题．

6 结语

教学是一门科学，同时也是一门艺术．教学实践中适当地使用留白艺术，可以激发学生学习兴趣，培养学生自主思考的学习习惯，挖掘学生学习潜能，活跃学生思维，提高数学学习能力，可以促进教学收到最佳效果．可以说，数学教学中的留白艺术，是数学课堂教学美的升华．