2020版高中数学 第一章1.2 排列与组合 1.2.2 第1课时 组合与组合数公式学案 新人教A版选修2-3

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第1课时 组合与组合数公式

学习目标 1.理解组合的定义，正确认识组合与排列的区别与联系.2.理解排列数与组合数之间的联系，掌握组合数公式，能运用组合数公式进行计算.3.会解决一些简单的组合问题．

知识点一 组合的定义

思考 ①从3,5,7,11中任取两个数相除； ②从3,5,7,11中任取两个数相乘．

以上两个问题中哪个是排列？①与②有何不同特点？

答案 ①是排列，①中选取的两个数是有序的，②中选取的两个数无需排列．

梳理 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．

知识点二 组合数与组合数公式 组合数及组合数公式

组合数定义及表示 乘积组合数公式 形式 阶乘形式 性质 备注

1．从a1，a2，a3三个不同元素中任取两个元素组成一个组合是C3.( × ) 2．从1,3,5,7中任取两个数相乘可得C4个积．( √ ) 3．C5＝5×4×3＝60.( × ) 4．C2 017＝C2 017＝2 017.( √ )

2 016

1

3

2

2

从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号Cn表示. Cn＝mmn?n－1??n－2?…?n－m＋1? m！Cn＝mn！ m！?n－m?！Cn＝Cn mn－mCn＋1＝Cn＋Cn 规定Cn＝1 0mmm－1

精品

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类型一 组合概念的理解 例1 给出下列问题：

(1)a，b，c，d四支足球队之间进行单循环比赛，共需比赛多少场？ (2)a，b，c，d四支足球队争夺冠、亚军，有多少种不同的结果？

(3)从全班40人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务，有多少种不同的选法？ (4)从全班40人中选出3人参加某项活动，有多少种不同的选法？ 在上述问题中，哪些是组合问题，哪些是排列问题？ 考点 组合的概念 题点 组合的判断

解 (1)单循环比赛要求两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题． (2)冠、亚军是有顺序的，是排列问题．

(3)3人分别担任三个不同职务，有顺序，是排列问题． (4)3人参加某项相同活动，没有顺序，是组合问题．

反思与感悟 区分排列与组合的办法是首先弄清楚事件是什么，区分的标志是有无顺序，而区分有无顺序的方法是：把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题． 跟踪训练1 判断下列问题是排列问题还是组合问题，并求出相应的结果． (1)集合{0,1,2,3,4}的含三个元素的子集的个数是多少？

(2)某小组有9位同学，从中选出正、副班长各一个，有多少种不同的选法？若从中选出2名代表参加一个会议，有多少种不同的选法？ 考点 组合的概念 题点 组合的判断

解 (1)由于集合中的元素是不讲次序的，一个含三个元素的集合就是一个从0,1,2,3,4中取出3个数组成的集合．这是一个组合问题，组合的个数是C5＝10.

(2)选正、副班长时要考虑次序，所以是排列问题，排列数是A9＝9×8＝72，所以选正、副班长共有72种选法；选代表参加会议是不用考虑次序的，所以是组合问题，所以不同的选法有C9＝36(种)．

类型二 组合数公式及性质的应用 命题角度1 有关组合数的计算与证明 例2 (1)计算C10－C7·A3； 考点 组合数公式

题点 利用组合数公式进行计算

10×9×8×743

(1)解 原式＝C10－A7＝－7×6×5＝210－210＝0.

4×3×2×1

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4

3

3

2

2

3

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(2)求证：Cn＝

mm＋1m＋1

Cn＋1. n＋1

考点 组合数公式 题点 组合数公式的应用 (2)证明 因为右边＝mm＋1m＋1m＋1?n＋1?！n！mCn＋1＝·＝＝Cn， n＋1n＋1?m＋1?！?n－m?！m！?n－m?！

左边＝Cn，所以左边＝右边，所以原式成立．

Ann?n－1??n－2?…?n－m＋1?

反思与感悟 (1)涉及具体数字的可以直接用公式C＝m＝计算．

Amm！

mnm(2)涉及字母的可以用阶乘式Cmn！

n＝

m！?n－m?！

计算．(3)计算时应注意利用组合数的两个性质： ①Cmn－mmmm－1

n＝Cn；②Cn＋1＝Cn＋Cn.

跟踪训练2 (1)计算C3

3

3

3

4＋C5＋C6＋…＋C2 017的值为( A．C4

2 017 B．C5

2 017 C．C42 018－1

D．C5

2 017－1

(2)计算C98

199

100＋C200＝________. 考点 组合数性质 题点 的性质计算与证明 答案 (1)C (2)5 150 解析 (1)C3

3

3

3

4＋C5＋C6＋…＋C2 017 ＝C4

3

3

3

3

4

4＋C4＋C5＋C6＋…＋C2 017－C4 ＝C4

3

3

5＋C5＋…＋C2 017－1＝… ＝C4

3

4

2 017＋C2 017－1＝C2 018－1. (2)C98

199

2

1

100＋C200＝C100＋C200 ＝100×992

＋200＝5 150.

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)

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命题角度2 含组合数的方程或不等式 117m5－m例3 (1)已知m－m＝m，求C8＋C8；

C5C610C7(2)解不等式Cn>Cn. 考点 组合数性质

题点 含有组合数的方程或不等式的问题 117

解 (1)∵m－m＝m，

C5C610C7∴即

4

6

m！?5－m?！m！?6－m?！7×?7－m?！m！

5！5！

－－6！

＝10×7！ ，

m！?5－m?！m！?6－m??5－m?！

6×5！

7×m！?7－m??6－m??5－m?！＝.

10×7×6×5！6－m?7－m??6－m?∴1－＝，

660

即m－23m＋42＝0，解得m＝2或21. ∵0≤m≤5，∴m＝2， ∴C8＋C8＝C8＋C8＝C9＝84.

m5－m2

3

3

2

n！n！??>，46

(2)由Cn>Cn，得?4！?n－4?！6！?n－6?！

??n≥6

??n－9n－10<0，

即???n≥6，

*2

??－1

解得?

??n≥6，

又n∈N，∴该不等式的解集为{6,7,8,9}．

反思与感悟 (1)解题过程中应避免忽略根的检验而产生增根的错误，注意不要忽略n∈N.

(2)与排列组合有关的方程或不等式问题要用到排列数、组合数公式，以及组合数的性质，求解时，要注意由Cn中的m∈N，n∈N，且n≥m确定m，n的范围，因此求解后要验证所得结果是否适合题意． 跟踪训练3 解方程3Cx－3＝5Ax－4. 考点 组合数性质

题点 含有组合数的方程或不等式的问题 解 原式可变形为3Cx－3＝5Ax－4， 3?x－3??x－4??x－5??x－6?

即

4×3×2×1＝5(x－4)(x－5)，

所以(x－3)(x－6)＝5×4×2＝8×5. 所以x＝11或x＝－2(舍去)．

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4

2

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