新人教版初二数学因式分解单元复习

??????○○??第十五章 整式的乘除与分解因式

??????§整式的乘除与因式分解基础知识日复习

线考区 线一、学习目标：

? ???1.掌握与整式有关的概念；

??2.掌握同底数幂、幂的乘法法则，同底数幂的除法法则，积的乘方法则； ?考点 ?3.掌握单项式、多项式的相关计算；

○ ○4.掌握乘法公式：平方差公式，完全平方公式。 ???考场 ?5..掌握因式分解的常用方法。 ??二、 知识点总结：

? ?1、 单项式的概念：由数与字母的乘积构成的代数式叫做单项式。单独的一个数或一订订个字母也是单项式。单项式的数字因数叫做单项式的系数，字母指数和叫单项式?考号 ?? ?的次数。

??如：?2a2bc的 系数为?2，次数为4，单独的一个非零数的次数是0。

??2、 多项式：几个单项式的和叫做多项式。多项式中每个单项式叫多项式的项，次数○考生 ○最高项的次数叫多项式的次数。

? ???如：a2?2ab?x?1，项有a2、?2ab、x、1，二次项为a2、?2ab，一次项为x，常??数项为1，各项次数分别为2，2，1，0，系数分别为1，-2，1，1，叫二次四项式。 ??3、 整式：单项式和多项式统称整式。

装装注意：凡分母含有字母代数式都不是整式。也不是单项式和多项式。 ????4、 同底数幂的乘法法则：am?an?am?n（m,n都是正整数）

??同底数幂相乘，底数不变，指数相加。注意底数可以是多项式或单项式。 ??如：(a?b)2?(a?b)3?(a?b)5

○○5、 幂的乘方法则：(am)n?amn（m,n都是正整数）

????幂的乘方，底数不变，指数相乘。如：(?35)2?310 ??幂的乘方法则可以逆用：即amn?(am)n?(an)m ??如：46?(42)3?(43)2

外内6、 积的乘方法则：(ab)n?anbn（n是正整数） ????积的乘方，等于各因数乘方的积。 ??如：（?2x3y2z)5=(?2)5?(x3)5?(y2)5?z5??32x15y10z5

??7、 同底数幂的除法法则：am?an?am?n（a?0,m,n都是正整数，且m?n) ○○同底数幂相除，底数不变，指数相减。如：(ab)4?(ab)?(ab)3?a3b3

????8、 零指数和负指数；

??a0?1，即任何不等于零的数的零次方等于1。??a?p?1

○○ap（a?0,p是正整数），即一个不等于零的数的?p次方等于这个数的p次方

??

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????

的倒数。

如：2?3?(11

2)3?89、 单项式的乘法法则：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。 注意：

①积的系数等于各因式系数的积，先确定符号，再计算绝对值。 ②相同字母相乘，运用同底数幂的乘法法则。

③只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式 ④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用。 ⑤单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式。 如：?2x2y3z?3xy?

10、 单项式乘以多项式，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加， 即m(a?b?c)?ma?mb?mc(m,a,b,c都是单项式) 注意：

①积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同。

②运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号。 ③在混合运算时，要注意运算顺序，结果有同类项的要合并同类项。 如：2x(2x?3y)?3y(x?y)

11、 多项式与多项式相乘的法则；

多项式与多项式相乘，先用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

如：

(3a?2b)(a?3b) (x?5)(x?6)12、 平方差公式：(a?b)(a?b)?a2?b2注

意平方差公式展开只有两项

公式特征：左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数。右边是相同项的平方减去相反项的平方。 如：(x?y?z)(x?y?z)

13、 完全平方公式：(a?b)2?a2?2ab?b2

公式特征：左边是一个二项式的完全平方，右边有三项，其中有两项是左边二项式中每一项的平方，而另一项是左边二项式中两项乘积的2倍。 注意：

a2?b2?(a?b)2?2ab?(a?b)2?2ab (a?b)2?(a?b)2?4ab

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(?a?b)2?[?(a?b)]2?(a?b)2 (?a?b)2?[?(a?b)]2?(a?b)2 完全平方公式的口诀：首平方，尾平方，加上首尾乘积的2倍。 14、 三项式的完全平方公式：

(a?b?c)2?a2?b2?c2?2ab?2ac?2bc 15、 单项式的除法法则：

单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。 注意：首先确定结果的系数（即系数相除），然后同底数幂相除，如果只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式 如：?7a2b4m?49a2b

16、 多项式除以单项式的法则：

多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，在把所的的商相加。 即：(am?bm?cm)?m?am?m?bm?m?cm?m?a?b?c 17、 因式分解：

常用方法：提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法、换元法、增项减项法、待定系数法??

因式分解专题复习

例题讲解

考点1 提取公因式法

例1 ⑴?8x4y?6x3y2?2x3y； ⑵x(x?y)2?2(y?x)3 解：

注：提取公因式的关键是从整体观察，准确找出公因式，并注意如果多项式的第一项系数是负的一般要提出“－”号，使括号内的第一项系数为正.提出公因式后得到的另一个因式必须按降幂排列.

练习1、⑴45a3b2c?9a2bc?54a2b2c； ⑵(a?b)4?a(a?b)3?b(b?a)3

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考点2 运用公式法 例2 把下列式子分解因式：

⑴36a2?4b2； ⑵2x2?12y2. 解：

注：能用平方差分解的多项式是二项式，并且具有平方差的形式.注意多项式有公因式时，首先考虑提取公因式，有时还需提出一个数字系数.

例3把下列式子分解因式：

⑴?x2?4y2?4xy； ⑵a5b?18a4b3?81a3b5. 解：

注：能运用完全平方公式分解因式的多项式的特征是：有三项，并且这三项是一个完全平方式，有时需对所给的多项式作一些变形，使其符合完全平方公式.

练习2、⑴a6?16a2； ⑵(a?2b)2?(2a?b)2；

⑶16x4?8x2?1； ⑷(x2?1)2?4x(x2?1)?4x2.

注：整体代换思想：a、b比较复杂的单项式或多项式时，先将其作为整体替代公式中字母.还要注意分解到不能分解为止. 考点3、十字相乘法、双十字相乘法

例5 ⑴a2?5a?4； ⑵x4?5x2y2?4y4.

练习3、⑴x2?6xy?16y2 ⑵(x?y)2?2(y?x)?80

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题答许不内线订装??????○○??

????考点4、分组分解法 ??例6分解因式：

线考区 线??（1）4x2?4xy?y2?z2； （2）a3?a?2b?2a2b ????（3）x2?2xy?y2?2x?2y?3 ?考点 ?

○ ○??练习4分解因式：x2?4xy?4y2?x?2y?6. ?考场 ??? ? ?

订订分析：对于四项或四项以上的多项式的因式分解，一般采用分组分解法，。四项式一般采用“二、?考号 ?二”或“三、一”分组，五项式一般采用“三、二”分组，分组后再试用提公因式法、公式法或??十字相乘法继续分解。

? ???答案：（1）?2x?y?z??2x?y?z?（三、一分组后再用平方差） ○考生 ○? （2）?a?2b??a?1??a?1?（三、二分组后再提取公因式） ????? （3）?x?y?3??x?y?1?（三、二、一分组后再用十字相乘法） ??装装考点5、换元法 考点6、增项减项法 考点7、待定系数法 ??

????强化训练2 ??一、因式分解

○○??1. 2x3?8x; 2.

x4y2?6x2y2?9y2. ????

??外内3. 3a3?6a2b?3a2c?6abc; 4. 4b2c2??b2?c2?a2?2.

?? ?? ????5. 4an?1b2?16an?1 6. x2y2?y4?12xy2?36y2;

○○

????7.

x2?6xy?9y2?3x?9y?2. 8.?x?2??x?4??7; ????

○○?? 第5页，共8页 ????

9.?x2?4x?12??x2?4x?3??56; 10.?x?1??x?2??x?3??x?6??56

11.(x2?7x?6)?x2?x?6??56.

二、因式分解

1、9m2?25n4; 2、

8a?4a2?4;

443、?x?y???x?y?; 4、

2ab?a2b2?1?c2;

5、ab?c2?d2??cd?a2?b2?; 6、

3a2x2?15a2xy?42a2y2;

7、a3b?3a2b?6ab?18b; 8、4a?1?b2?4a2.

9、?a2?1??a2?8a?15??20.

三、选择题

(1) 用分组分解法把a4?a2?2a?1分解因式，正确的分组方法是：（ ）

A. (a4?a2)?(2a?1) B. (a4?2a)?(a2?1) C. (a4?1)?(a2?2a) D. a4?(a2?2a?1) (2) 多项式x2?ax?bx?ab可分解因式为（）

A. (x?a)(x?b) B. (x?a)(x?b) C. (x?a)(x?b) D. (x?a)(x?b)

(1?122)(1?133)?(1?11(3) 计算

92)(1?102)的值是（）

第6页，共8页

11111A. 2 B. 20 C. 10 D. 20

2223x?xy?3x?y(4) 将分解因式，结果是（）

2222(x?1)(x?3y)(x?1)(3x?y)(x?1)(3x?y)(x?1)(3x?y) A. B. C. D.

(15) (x?y)?4(x?y?1)

44x?4y(16)

2二、利用因式分解

a2?b2?ab独立训练

一、因式分解

(1) x4?10x2?9

(2)

7(x?y)3?5(x?y)2?2(x?y)

(3)

(a2?8a)2?22(a2?8a)?120

(4) x2?y2?x2y2?4xy?1

(5) (x?1)(x?2)(x?3)(x?4)?48

(6) a2?b2?2bc?c2 (7) 2a3?2a2b?8b?8a

(8) 3x3?6x2y?3x2z?6xyz

(9) a2?4ab?3b2?2bc?c2

(10)

x2?y2?z2?2yz?1?2x (11) x2?6xy?9y2?10x?30y?25

(12) a2?a2b?ab2?a?b?b2 (13) x4?3x3?6x?4

(14)

(a2?b2?c2)2?4b2c2 第7页，共8页 已知a(a?1)?(a2?b)??1，求2的值。

附：常用公式

1：（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2 2: （a－b）2＝a2－2ab＋b2 3: a2－b2＝（a－b）（a＋b）

4: （a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc 5: （a＋b）3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3 6: （a－b）3＝a3－3a2b＋3ab2－b3 7: a3＋b3＝（a＋b）（a2－ab＋b2） 8: a3－b3＝（a－b）（a2＋ab＋b2）

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题答许不内线订装