垂直平分线与角平分线典型题

线段的垂直平分线与角平分线(1)

知识要点详解

1、线段垂直平分线的性质

（1）垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.

定理的数学表示：如图1，已知直线m与线段AB垂直相交于点D，且AD＝BD，若点C在直线m上，则AC＝BC.

定理的作用：证明两条线段相等 （2）线段关于它的垂直平分线对称. 2、线段垂直平分线性质定理的逆定理 （1）线段垂直平分线的逆定理：

ACmD图1BC到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 定理的数学表示：如图2，已知直线m与线段AB垂直相交于点D，且AD＝BD，若AC＝BC，则点C在直线m上.

定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上. 3、关于三角形三边垂直平分线的定理 （1）关于三角形三边垂直平分线的定理：

AmD图2B三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等. 定理的数学表示：如图3，若直线i,j,k分别是△ABC三边AB、BC、CA的垂直平分线，则直线i,j,k相交于一点O，且OA＝OB＝OC.

定理的作用：证明三角形内的线段相等.

（2）三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系：

若三角形是锐角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形内部；若

1

三角形是直角三角形，则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点；若三角形是钝角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形外部.反之，三角形三边垂直平分线的交点在三角形内部，则该三角形是锐角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形的边上，则该三角形是直角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形外部，则该三角形是钝角三角形. 经典例题：

例1 如图1，在△ABC中，BC＝8cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E，△BCE的周长等于18cm，则AC的长等于（ ） A．6cm B．8cm 针对性练习：

已知：1)如图，AB=AC=14cm,AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，

如果△EBC的周长是24cm，那么BC=

2) 如图，AB=AC=14cm,AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，

如果BC=8cm，那么△EBC的周长是

3） 如图，AB=AC,AB的垂直平分线交AB于点 D，交AC于点E，如果∠A=28 度，那么∠EBC是

例2. 已知： AB=AC，DB=DC，E是AD上一点，求证：BE=CE。

B D E A C．10cm D．12cm

C

2

针对性练习：

已知：在△ABC中，ON是AB的垂直平分线,OA=OC 求证：点O在BC的垂直平分线

B

O

N

A

C

例3. 在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与边AC所在的直线相交所成锐角为50°，△ABC的底角∠B的大小为_______________。 课堂笔记： 针对性练习：

1. 在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在直线相交所得的锐角为40°，则底角B的大小为________________。

例4、如图8，已知AD是△ABC的BC边上的高，且∠C＝2∠B，

求证：BD＝AC＋CD.

证明：在BD上取一点E，使DE＝DC，连接AE，则AE＝AC， 课堂练习：

1.如图，AC=AD，BC=BD，则（ ）

A.CD垂直平分AD B.AB垂直平分CD C.CD平分∠ACB D.以上结论均不对

2.如果三角形三条边的中垂线的交点在三角形的外部， 那么，这个三角形是（ ）

B图8ADC 3

A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形 3.下列命题中正确的命题有（ ）

①线段垂直平分线上任一点到线段两端距离相等；②线段上任一点到垂直平分线两端距离相等；③经过线段中点的直线只有一条；④点P在线段AB外且PA=PB，过P作直线MN，则MN是线段AB的垂直平分线；⑤过线段上任一点可以作这条线段的中垂线. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

4.△ABC中，AB的垂直平分线交AC于D，如果AC=5 cm，BC=4cm，那么△DBC的周长是（ ）

A.6 cm B.7 cm C.8 cm D.9 cm

5.已知如图，在△ABC中，AB=AC，O是△ABC内一点，且OB=OC， 求证：AO⊥BC.

6.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，AB的垂直平分线 MN分别交BC、AB于点M、N. 求证：CM=2BM.

课后作业：

1. 如图7，在△ABC中，AC＝23，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，△ACE的周长为50，求BC边的长.

2. 已知：如图所示，∠ACB，∠ADB都是直角，且AC=AD，P是AB上任意

BDA图7EC 4