高考数学大一轮复习第九章平面解析几何第6讲抛物线配套练习文北师大版

第6讲 抛物线

一、选择题

1．(2016·全国Ⅱ卷)设F为抛物线C：y＝4x的焦点，曲线y＝(k>0)与C交于点P，PF⊥

2

kxx轴，则k＝

( )

13

A. B．1 C. D．2 22

解析 由题可知抛物线的焦点坐标为(1,0)，由PF⊥x轴知，|PF|＝2，所以P点的坐标为(1,2)，代入曲线y＝(k>0)得k＝2，故选D. 答案 D

2．点M(5,3)到抛物线y＝ax(a≠0)的准线的距离为6，那么抛物线的方程是( )

A．y＝12x C．y＝－36x

22

2

kxB．y＝12x或y＝－36x 1212

D．y＝x或y＝－x

1236

22

1212

解析 分两类a>0，a<0可得y＝x，y＝－x.

1236答案 D

3．(2017·宜春诊断)过抛物线y＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|PQ|＝

( )

A．9 C．7

2

2

B．8 D．6

解析 抛物线y＝4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.根据题意可得，|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8.故选B. 答案 B

4．已知抛物线C：y＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交→→

点．若FP＝4FQ，则|QF|等于

( )

7A. 2C．3 解析

5B. 2D．2

2

→→∵FP＝4FQ，

|PQ|3→→

∴|FP|＝4|FQ|，∴＝.

|PF|4如图，过Q作QQ′⊥l，垂足为Q′， 设l与x轴的交点为A，

|PQ||QQ′|3

则|AF|＝4，∴＝＝，

|PF||AF|4

∴|QQ′|＝3，根据抛物线定义可知|QQ′|＝|QF|＝3，故选C. 答案 C

5．(2017·衡水金卷)已知抛物线y＝4x，过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，

2

y2)两点，则y21＋y2的最小值为

2

( )

A．12 C．16

B．24 D．32

??x＝4，解析 当直线的斜率不存在时，其方程为x＝4，由?2

?y＝4x，?

得y1＝－4，y2＝4，∴

2

??y＝4x，22

y1＋y2＝32.当直线的斜率存在时，设其方程为y＝k(x－4)，由?

?y＝kx－4?

，

得

22

ky2－4y－16k＝0，∴y1＋y2＝，y1y2＝－16，∴y21＋y2＝(y1＋y2)－2y1y2＝2＋32＞32，

kk416

综上可知，y1＋y2≥32.∴y1＋y2的最小值为32.故选D. 答案 D 二、填空题

6．(2016·兰州诊断)抛物线y＝－12x的准线与双曲线－＝1的两条渐近线所围成的三

93角形的面积等于________．

解析 由图可知弦长|AB|＝23，三角形的高为3， 1

∴面积为S＝×23×3＝33.

2

2

2222

x2y2

答案 33

7．(2017·安徽四校三联)过抛物线y＝4x的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A，

2

B两点，则弦长|AB|为________．

解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)．易得抛物线的焦点是F(1,0)，所以直线AB的方程是y??y＝4x，

＝x－1，联立?

??y＝x－1，

2

消去y得x－6x＋1＝0，所以x1＋x2＝6，所以|AB|＝x1＋

2

x2＋p＝6＋2＝8.

答案 8

8．如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽________米．

解析

建立如图平面直角坐标系，设抛物方程为x＝－2py(p＞0)．

由题意将点A(2，－2)代入x＝－2py，得p＝1，故x＝－2y.设B(x，－3)，代入x＝－2y中，得x＝6，故水面宽为26米． 答案 26 三、解答题

9．(2016·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x－y－2＝0，抛物线C：

2

2

2

2

y2＝2px(p＞0)．

(1)若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程； (2)已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q. ①求证：线段PQ的中点坐标为(2－p，－p)； ②求p的取值范围．

(1)解 ∵l：x－y－2＝0，∴l与x轴的交点坐标为(2,0)． 即抛物线的焦点为(2,0)，∴＝2，∴p＝4.

2∴抛物线C的方程为y＝8x.

(2)①证明 设点P(x1，y1)，Q(x2，y2)．

2

p??y1＝2px1，则?2

??y2＝2px2，

2

??

则?yx＝??2p，

2

2

2

y21

x1＝，2p

∴kPQ＝

y1－y22p， 22＝

y1y2y1＋y2

－2p2p又∵P，Q关于l对称．∴kPQ＝－1，即y1＋y2＝－2p， ∴∴

y1＋y2

22

＝－p，又∵PQ的中点一定在l上， ＝＋2＝2－p.

x1＋x2y1＋y2

2

∴线段PQ的中点坐标为(2－p，－p)． ②解 ∵PQ的中点为(2－p，－p)，

y1＋y2＝－2p，??2∴?y21＋y2

x1＋x2＝＝4－2p，?2p?

??y1＋y2＝－2p，即?222

?y1＋y2＝8p－4p，?

2

2

??y1＋y2＝－2p，

∴?2

?y1y2＝4p－4p，?

即关于y的方程y＋2py＋4p－4p＝0，有两个不等实根．∴Δ＞0. 422

即(2p)－4(4p－4p)＞0，解得0＜p＜，

3