2020年全国卷Ⅱ普通高等学校招生全国统一考试理科数学高考试题(含答案)

（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大．为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由．

附：相关系数r??(x?x)(y?y)iii?1n?(x?x)?(y?y)2iii?1i?1nn，2?1.414．

219．（12分）

x2y2已知椭圆C1：2?2?1(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合．过

abF且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且CD?（1）求C1的离心率；

（2）设M是C1与C2的公共点，若|MF|=5，求C1与C2的标准方程． 20．（12分）

如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点，过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F．

4AB． 3

（1）证明：AA1∥MN，且平面A1AMN⊥平面EB1C1F；

（2）设O为△A1B1C1的中心，若AO∥平面EB1C1F，且AO=AB，求直线B1E与平面A1AMN所成角的正弦值． 21．（12分）

已知函数f(x)? sinxsin2x．

2

（1）讨论f(x)在区间(0，π)的单调性； （2）证明：f(x)?*33 ； 82222n3n（3）设n?N，证明：sinxsin2xsin4xsin2x?n．

4（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答。并用2B铅笔将所选题号涂黑，多涂、

错涂、漏涂均不给分．如果多做，则按所做的第一题计分． 22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）

已知曲线C1，C2的参数方程分别为

1?x?t?,????x?4cos?，tC1：?（θ为参数），C2：?（t为参数）．

2??y?4sin??y?t?1?t?2（1）将C1，C2的参数方程化为普通方程；

（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．设C1，C2的交点为P，求圆心在极轴上，且经过极点和P的圆的极坐标方程． 23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）

已知函数f(x)= |x-a2|+|x-2a+1|．

（1）当a=2时，求不等式f(x)≥4的解集； （2）若f(x)≥4，求a的取值范围．

参考答案

1．A 13．

2．D

3．B

4．C

5．B

6．C

7．A

8．B

9．D

10．C 11．A 12．C

2 214．36

15．23 16．①③④

17．解：（1）由正弦定理和已知条件得BC2?AC2?AB2?AC?AB，①

由余弦定理得BC2?AC2?AB2?2AC?ABcosA，②

由①，②得cosA??1. 22π. 3ACABBC???23， （2）由正弦定理及（1）得

sinBsinCsinA因为0?A?π，所以A?从而AC?23sinB，AB?23sin(π?A?B)?3cosB?3sinB. 故BC?AC?AB?3?3sinB?3cosB?3?23sin(B?). 又0?B?π3ππ，所以当B?时，△ABC周长取得最大值3?23. 36118．解：（1）由已知得样本平均数y?20?yi?120i?60，从而该地区这种野生动物数量的估计值为60×

200=12000．

（2）样本(xi,yi)(i?1,2,,20)的相关系数

r??(x?x)(y?y)iii?120?(xi?x)i?12022(y?y)?ii?120?80022??0.94．

380?9000（3）分层抽样：根据植物覆盖面积的大小对地块分层，再对200个地块进行分层抽样．

理由如下：由（2）知各样区的这种野生动物数量与植物覆盖面积有很强的正相关．由于各地块间植物覆盖面积差异很大，从而各地块间这种野生动物数量差异也很大，采用分层抽样的方法较好地保持了样本结构与总体结构的一致性，提高了样本的代表性，从而可以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计．

19．解：（1）由已知可设C2的方程为y?4cx，其中c?a2?b2. 2b2b2不妨设A,C在第一象限，由题设得A,B的纵坐标分别为，?；C,D的纵坐标分别为2c，?2c，

aa2b2故|AB|?，|CD|?4c.

a4cc2cc18b2由|CD|?|AB|得4c?，即3??2?2()，解得??2（舍去），?.

3aaaa23a

所以C1的离心率为

1. 2x2y2（2）由（1）知a?2c，b?3c，故C1:2?2?1，

4c3c222x0y0x04x2设M(x0,y0)，则2?2?1，y0?4cx0，故2?0?1.①

4c3c4c3c由于C2的准线为x??c，所以|MF|?x0?c，而|MF|?5，故x0?5?c，代入①得

(5?c)24(5?c)，c?3. ??1，即c2?2c?3?0，解得c??1（舍去）24c3cx2y2所以C1的标准方程为??1，C2的标准方程为y2?12x.

362720．解：（1）因为M，N分别为BC，B1C1的中点，所以MN∥CC1．又由已知得AA1∥CC1，故AA1∥MN．

因为△A1B1C1是正三角形，所以B1C1⊥A1N．又B1C1⊥MN，故B1C1⊥平面A1AMN． 所以平面A1AMN⊥平面EB1C1F．

（2）由已知得AM⊥BC．以M为坐标原点，MA的方向为x轴正方向，MB 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系M-xyz，则AB=2，AM=3． 连接NP，则四边形AONP为平行四边形，故PM?23231,E(,,0)．由（1）知平面A1AMN⊥平面333ABC，作NQ⊥AM，垂足为Q，则NQ⊥平面ABC．

设Q(a,0,0)，则NQ?4?(2323?a)2,B1(a,1,4?(?a)2)， 33故B1E?(23223210． ?a,?,?4?(?a)2),|B1E|?3333n?B1Eπ10?又n?(0,?1,0)是平面A1AMN的法向量，故sin(?n,B1E)?cosn,B1E?．

2|n|?|B1E|10所以直线B1E与平面A1AMN所成角的正弦值为10． 10