2007年浙江省高中数学竞赛A卷（附参考答案）

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2007年浙江省高中数学竞赛Ａ卷（附参考答案）

一、选择题 1. 如果

，则使

的的取值范围为（ ）

A. 解：显然

B. ，且

。

C. D.

。

要使无解。

。当时，，即；当时，，此时

由此可得， 使

2.

已

知

集

合，则

的的取值范围为。 应选Ｂ。

，

＝ （ ）

A. 解：

B. Ｒ C. D.

。从而有

没有实数可以使上述不等式成立。故Ｃ。 3. 以

。 应选

为六条棱长的四面体个数为 （ ）

A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 解：以这些边为三角形仅有四种：

，

，

，

。

固定四面体的一面作为底面： 当底面的三边为当底面的三边为

时，另外三边的取法只有一种情况，即时，另外三边的取法有两种情形，即

，；

。

其余情形得到的四面体均在上述情形中。由此可知，四面体个数有３个。 应选 Ｂ。 4. 从１至169的自然数中任意取出３个数构成以整数为公比的递增等比数列的取法有（ ）种。

A. 89 B. 90 C. 91 D. 92 解：若取出的３个数构成递增等比数列 有

。当固定时，使三个数

，则有

为整数的的个数记作

。由

。由此

，

知应是的整数部分。

,，

，,

，

，

,.

。 应选Ｃ

构成以Ａ为直角顶点的等腰直角三角

,

因此，取法共有

5. 若在复平面上三个点

形，其中，则△ＡＢＣ的面积为（ ）

A. B. C. 1 D.

解：依题意，，。

△ＡＢＣ的面积为。 应选Ａ。

6. 2007重的末二位数字是 （ ）

A. 01 B. 07 C. 43 D. 49

解：记 ｋ重。题目要求

的末二位数。

其中Ｍ为正整数。由此可得观察

的末二位数字

因此，Ｃ。

二、填空题 7. 设

。 解：

因此，

8.

公差为２的等差数列，即设

为方程

为

与

的末二位数字的变化规律。

2 49 3 43 4 01 5 07 的末二位数与的末二位数字相同。首先来

6 49 7 43 8 01 9 07 的末二位数字的变化是以４为周期的规律循环出现。

（

（

为奇整数） 为正整数）

的末二位数字相同，为43。 应选

的单调递增数列，且满足，则

（由题意可知取正号。）

。从而可得

的根（

。 答案为。 ），则

。

解： 由题意，

，

，

。由此可得 以及

。

。

答案为：9. 设

。

均为非负实数，则

的最小值为 。

，

，。则

＋＋

＋，即＋

＋

＋

（应用三角不等式）

＝2007。

，那么Ｉ取到最小值2007。

，

解： 在直角坐标系中，作点 Ｉ＝ ＝ 如果取

答案为 2007。 10. 设

，

是定义在Ｒ上的奇函数，且满足；又当时，

解：依题意，

，则＝ 。

，即

是以４为周期的周期函数。

因为当时，，且为奇函数，所以当时，。

此时有 。可得。又因为是以４