全国初中数学联赛试题详解

一九八五年

一、选择题

1．设ABCD为圆内接四边形，现在给出四个关系式

（1）sinA=sinC;（2）sinA+sinC=0;（3）cosB+cosD=0;（4）cosB=cosD。 其中总能成立的关系式的个数是 （A）一个；（B）两个；（C）三个；（D）四个。

答（ ）

2．若n是大于1的整数，则 p=n+(n2?1)1?(?1)n2的值

（A）一定是偶数；（B）一定是奇数；（C）是偶数但不是2；（D）可以是偶数也可以是奇数。

答（ ）

3．在平行四边形ABCD中，P为BC的中点，过P作BD的平行线交CD于Q，连PA、PD、QA、QB，则图中与△ABP面积相等的三角形，除△ABP外还有 A D

Q

B P C （A）三个；（B）四个；（C）五个；（D）六个。

答（ ）

4．函数y=1-|x-x2|的图像大致形状是

y y

O x O x 图1 图2

y y

O x O x

图3 图4

（A）图1中的实线部分；（B）图2中的实线部分；

（C）图3中的实线部分；（D）图4中的实线部分。

答（ ）

5．[x]表示取数x的整数部分，例如[15/4]=3等，若

?x?[u]?x?[u]??y?4??4??4???，且当

????x=1，8，11，14时，y=1；

x=2，5，12，15时，y=2； x=3，6，9，16时，y=3； x=4，7，10，13时，y=0。 则表达式中的u等于 （A）

x?2x?1xx?1；（B）；（C）；（D）。

4444答（ ）

6．如图，在等腰△ABC中，CD是底边AB上的高，E是腰BC的中点，AE交CD于F，现在给出三条路线： C （a）A→F→C→E→B→D→A； （b）A→C→E→B→D→F→A；

（c）A→D→B→E→F→C→A。 E F A D B

设它们的长度分别为L（a），L（b），L（c），那么下列三种关系式：L（a）＜L（b）＜L（c）中，一定能够成立的个数是 （A）0个；（B）1个；（C）2个；（D）3个。

答（ ）

二、填空题

1．设a-b=2+3，b-c=2-3，则a2+b2+c2-ab-bc-ca的值为（ ）。

2．设方程x2-402x+k=0的一根加3，即为另一根的80倍。那么k=（ ）。

3．有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件，乙7件，丙1件，共需3.15元；若购甲4件，乙10件，丙1件，共需4.20元。现在购甲、乙、丙各1件共需（ ）元。 4．不等式42x2+ax＜a2的解为（ ）。

5．已知x（x≠0，±1）和1两个数，如果只许用加法、减法，1作被除数的除法三种运算（可以使用括号），经过六步算出x2，那么计算的表达式是（ ）。

a

6．在正实数集上定义一个运算*，其规则为：当a?b时，a*b=b；当a＜b时，a*b=b2。根据这个原则，方程3*x=27的解是（ ）。

三、如图，O为凸五边形ABCDE内一点，且∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠6，∠7=∠8。 求证：∠9与∠10相等或互补。

A 9 8 1 E 6 O 10 3 B 7 2 D 4 5 C

四、如图⊙O1、⊙O2外切于A，半径分别为r1和r2；PB、PC分别为两圆的切线，B、C为切点；PB：PC=r1：r2；又PA交⊙O2于E点。求证：△PAB∽△PEC。

B P

O1 E A O2 C

五、有一长、宽、高分别为正整数m、n、r（ m?n?r）的长方体，表面涂上红色后切成棱长为1的正方体，已知不带红色的正方体个数与两面带红色的正方体个数之和，减去一面带红的正方体个数得1985。求m、n、r的值。

一九八六年

一、选择题

1．已知logxa=a（a为大于1的正整数），则x的值为：

(lga)(lga)（A）10alga；（B）10a2； （C）10a；（D）10alg1a。

答（ ）

2．如果a＜b，那么?(x?a)(x?b)等于 （A）(x+a) （C）-(x+a)

3?(x?a)(x?b)；（B）(x+a) ?(x?a)(x?b)；（D）-(x+a)

(x?a)(x?b)； (x?a)(x?b)。

答（ ）

3．若关于|x|的方程||x-2|-1|=a有三个整数解，则a的值是

（A）0；（B）1；（C）2；（D）3。

答（ ）

4．记号[x]表示不超过x的最大整数（例如[5]=2）。设n是自然数，且 I=(n+1)2+n-[(n?1)?n?1]2，那么

（A）I＞0（B）I＜0（C）I=0（D）当n取不同的值时，以上三种情况都可能出现。

答（ ）

5．四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA之长分别是1，9，8，6（如图），对于以下命题： a． 四边形ABCD外切于圆； D 2b． 四边形ABCD不内接于圆； 6

c． 对角线不互相垂直； A 8 d． ∠ADC?90°； 1 O e． △BCD是等腰三角形。 B 9 C 正确的认识是

（A）a真、b假、d真；（B）c真、d假、e真； （C）c真、d假、e假；（D）b假、c假、d真。

答（ ）

6．如图，等腰梯形ABCD的对角线相交于点O，△OBC、△OCD、△ODA及梯形ABCD的面积分别为S1、S2、S3、S，对于以下三个结论： A D a． 已知S1：S，就可以求出AD：BC； S3 b． 已知（S1 + S2）：S，就可以求出AD：BC； S2 S2 c． 已知S2：S，就可以求出AD：BC。 O 正确的认识是 S1 （A）只有a是正确的；（B）只有b是正确的； B C （C）只有a、b是正确的；（D）a、b、c都是正确的。

答（ ）

二、填空题

1．如果方程x2+px+q=0的一根为另一根的2倍，那么p、q所满足的关系式是（ ）。 2．如图，在直角△ABC中，AC=BC，DEF 的圆心为A，如果图中两个阴影部分的面积相等，那么AD：DB=（ ）。

ADBECF

3．将自然数N接写在每一个自然数的右面（例如，将2接写在35的右面得352），如果得到的新数都能被N整除，那么N称为魔术数，在小于130的自然数中，魔术数的个数为（ ）。

4．设a，b，c，d都是整数，且m=a2+b2，n=c2+d2，则mn也可表示成两个整数的平方和，其形式是：mn=（ ）。

x4?6x3?2x2?18x?23?（ ）5．若x=19?83，则分式。

x2?8x?156．已知抛物线y=-x2+2x+8与x轴交于B、C两点，点D平分BC，若在x轴上侧的A点，