53.2014高考领航数学（理）8-8课时

所以梯形的面积为 1?117?19×?4＋8?×1＝. 216119

0，? 答案：??8?16

1

5．已知抛物线型拱桥的顶点距离水面2米时，测量水面的宽度为8米，当水面上升米后，2

水面的宽度是________米．

解析：设抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)， 将(4，－2)代入方程得16＝－2p·(－2)， 解得2p＝8，

13?－3?＝12，故方程为x2＝－8y，水面上升米，则y＝－，代入方程，得x2＝－8·x＝±23. ?2?22故水面宽43米． 答案：43

6．(2013·济南模拟)抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0距离的最小值是________．

解析：如图，设与直线4x＋3y－8＝0平行且与抛物线y＝－x2相切的直线为4x＋3y＋b

2

??y＝－x，

＝0，联立方程，得?即

?4x＋3y＋b＝0，?

4

3x2－4x－b＝0，则Δ＝16＋12b＝0，求得b＝－，所以切线方

34

程为4x＋3y－＝0，则切点到直线4x＋3y－8＝0的距离也就

3

是所求的最小值，此最小值也即为两直线间的距离，为4

答案：

3

?－8＋4?3?4?

5

＝.

3

7．(2013·河南洛阳期中考试)已知抛物线C：x2＝2py(p＞0)，O为坐标原点，F为抛物线的焦点，直线y＝x与抛物线C相交于不同的两点O、N，且|ON|＝42. (1)求抛物线C的方程；

→→→

(2)若直线l过点F交抛物线于不同的两点A，B，交x轴于点M，且MA＝aAF，MB＝→

bBF，对任意的直线l，a＋b是否为定值？若是，求出a＋b的值；否则，说明理由．

?y＝x?

解：(1)联立方程?2得x2－2px＝0，故O(0,0)，N(2p,2p)，∴|ON|＝4p2＋4p2＝

??x＝2py

22p，

由22p＝42得p＝2，∴抛物线C的方程为x2＝4y.

(2)显然直线l的斜率一定存在且不等于零，设其方程为y＝kx＋1，则直线l与x轴交点1

－k，0? 为M???

记点A(x1，y1)，B(x2，y2)，

??y＝kx＋1由?2得x2－4kx－4＝0， ?x＝4y?

∴Δ＝(4k)2－(－16)＝16(k2＋1)＞0， ∴x1＋x2＝4k，x1·x2＝－4.

1→→

x1＋k，y1?＝a(－x1,1－y1)， 由MA＝aAF，得???kx1＋1kx2＋1y1∴a＝＝－，同理可得b＝－，

kx1kx21－y1kx1＋1kx2＋1?x2＋x1?

∴a＋b＝－?＝－?2＋＝－1， ＋kx2?kx1x2??kx1?∴对任意的直线l，a＋b为定值－1.