北京市西城区2012届高三第一次模拟考试文科数学试题

(b3,a1)，(b3,a2)，(b3,b1)，(b3,b2)，(b3,b3)，共25种． ??????

9分

2次发言的学生恰好来自不同班级的基本事件为：

(a1,b1)，(a1,b2)，(a1,b3)，(a2,b1)，(a2,b2)，(a2,b3)，(b1,a1)，(b1,a2)，(b2,a1)，

(b2,a2)，(b3,a1)，(b3,a2)，共12种． ??????

12分

所以2次发言的学生恰好来自不同班级的概率为P?13分

17.（本小题满分14分）

（Ⅰ）证明：因为四边形MNEF，EFDC都是矩形， 所以 MN∥EF∥CD，MN?EF?CD． 所以 四边形MNCD是平行四边形，?????2分 所以 NC∥MD， ??????3分 因为 NC?平面MFD，

所以 NC∥平面MFD． ??????4分

（Ⅱ）证明：连接ED，设ED?FC?O．

因为平面MNEF?平面ECDF，且NE?EF，

所以 NE?平面ECDF， ??????

5分

所以 FC?NE． ??????

6分

又 EC?CD， 所以四边形ECDF为正方形，所以 FC?ED． ??????

7分

所以 FC?平面NED， ??????

8分

所以 ND?FC． ??????

9分

（Ⅲ）解：设NE?x，则EC?4?x，其中0?x?4．

1225． ??????

由（Ⅰ）得NE?平面FEC， 所以四面体NFEC的体积为VNFEC?11分

所以 VNFEC?13分

当且仅当x?4?x，即x?2时，四面体NFEC的体积最大． ??????

14分

18.（本小题满分14分）

（Ⅰ）解：设椭圆的半焦距为c，则c?22． ??????1分 由e?4分

所以，椭圆C的方程为

5分

（Ⅱ）解：设A(x1,y1),B(x2,y2)．

将直线l的方程代入椭圆C的方程，

消去y得 4(1?3k)x?60kx?27?0． ??????

7分

22由??3600k?16(1?3k)?27?0，得k?213S?EFC?NE?12x(4?x)． ??????

1x?(4?x)2[]?2． ??????22ca?63， 得 a?23， 从而b2?a2?c2?4． ??????

x212?y24 ???????1．

22316，且x1?x2?15k1?3k2． ????

9分

设线段AB的中点为D，则xD?10

分由点

A15k2?6k2，yD?kxD?52??52?6k2． ?????

，B都在以点(0,为圆心的圆上，得

kMD?k??1， ??????11分

3?52?6k?15k22即

?k??1， 解得 k?229，符合题意． ??????

2?6k13分

所以 k??14分

19.（本小题满分13分）

（Ⅰ）解：依题意，点C的横坐标为x，点C的纵坐标为yC??x2?9． ??????1分

2?9?0，解得xB?3，舍去xB??3． ?????点B的横坐标xB满足方程?xB23． ??????

2分

所以S?12(|CD|?|AB|)?yC?12(2x?2?3)(?x?9)?(x?3)(?x?9)． ???

224分

由点C在第一象限，得0?x?3．

所以S关于x的函数式为 S?(x?3)(?x2?9)，0?x?3． ??????

5分

?0?x?3,?（Ⅱ）解：由 ?x 及0?k?1，得0?x?3k． ??????

??k,?36分

记f(x)?(x?3)(?x?9),0?x?3k，

则f?(x)??3x?6x?9??3(x?1)(x?3)． ??????

8分

令f?(x)?0，得x?1． ??????

9分

① 若1?3k，即

x

13?k?1时，f?(x)与f(x)的变化情况如下：

22(0,1)

1

(1,3k)

f?(x) f(x)

?

0

?

↗ 极大值 ↘

所以，当x?1时，f(x)取得最大值，且最大值为f(1)?32． ??????11分

② 若1?3k，即0?k?13时，f?(x)?0恒成立，

所以，f(x)的最大值为f(3k)?27(1?k)(1?k2)． ??????13分

S的最大值为32； 综上，?k?1时，0?k?3113S的最大值为27(1?k)(1?k2)．时，

20.（本小题满分13分）

（Ⅰ）解：数列A:2,6,4不能结束，各数列依次为4,2,2；?． 2,0,2；2,2,0；0,2,2；2,0,2；以下重复出现，所以不会出现所有项均为0的情形． ??????

3分

（Ⅱ）解：（ⅰ）因为B的各项之和为2012，且a?b， 所以a为B的最大项， 所以|a1?a3|最大，即a1?a2?a3，或a3?a2?a1． ??????5分

?b?a1?a2,? 当a1?a2?a3时，可得?2?a2?a3,

?a?a?a.13? 由a?b?2?2012，得2(a1?a3)?2012，即a?1006，故b?1004．?????7分

当a3?a2?a1时，同理可得 a?1006，b?1004． ??????8分

（ⅱ）方法一：由B:b,2,b?2，则B经过6次“T变换”得到的数列分别为： b?2,b,2；2,b?2,b?4；b?4,2,b?6；b?6,b?8,2；2,b?10,b?8；b?12,2,b?10．

由此可见，经过6次“T变换”后得到的数列也是形如“b,2,b?2”的数列，与数