2019年高考数学一轮复习：古典概型

2019年高考数学一轮复习：古典概型

古典概型

1．基本事件

在一次试验中，我们常常要关心的是所有可能发生的基本结果，它们是试验中不能再分的最简单的随机事件，其他事件可以用它们来描绘，这样的事件称为____________．

2．基本事件的特点

(1)任何两个基本事件是____________的． (2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成____________的和．

3．古典概型

具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型：

(1)试验中所有可能出现的基本事件只有__________个．

(2)每个基本事件出现的可能性____________． 4．古典概型的概率公式

对于古典概型，其计算概率的公式为__________．

自查自纠

1．基本事件

2．(1)互斥 (2)基本事件

3．(1)有限 (2)相等

4．P(A)＝A包含的基本事件的个数

基本事件的总数

(2016·全国卷Ⅲ)小敏打开计算机时，忘记了

开机密码的前两位，只记得第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1，2，3，4，5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是( ) A.815 B.1118 C.15 D.30

解：开机密码的可能有(M，1)，(M，2)，(M，3)，(M，4)，(M，5)，(I，1)，(I，2)，(I，3)，(I，4)，(I，5)，(N，1)，(N，2)，(N，3)，(N，4)，(N，5)，共15

种可能，由古典概型公式得所求概率P＝1

15

.故选C.

(2017·山东)从分别标有1，2，…，9的9张

卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是( ) A.518 B.49 C.579 D.9

11

解：所求概率为P＝C12CC15C459C1＝89

.故选C.

(2017·莆田质检)抛掷一枚均匀的硬币4次，

正面不连续出现的概率是( ) A.34 B.1112 C. 3 D.4

解：抛掷一枚均匀的硬币4次，基本事件总数n＝24＝16, 正面不连续出现指：没有正面，四次反面；有一个正面，三个反面；有两个正面，两个反面三种情况，包含的基本事件个数m＝1＋4＋3＝8.故概率为1

2

，故选B. (2016·四川)从2、3、8、9任取两个不同的数

值，分别记为a、b，则logab为整数的概率是________．

解：从2，3，8，9中任取两个数记为a，b，作为对数的底数与真数，共有A24＝12个不同的基本事件，其中为整数的只有log28，log39两个基本事件，

所以其概率P＝211

12＝6.故填6

.

(2016·江苏)将一颗质地均匀的骰子(一种各个

面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是____________．

解：将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次，有36种结果，其中点数之和不小于10的有(6，6)，(6，5)，(6，4)，(5，6)，(5，5)，(4，6)，共6种，故所求概率为1－636＝55

6.故填6

.

类型一 基本事件与基本事件空间的概念

将一枚均匀硬币抛掷三次，观察向上一面

的正反．

(1)试用列举法写出该试验所包含的基本事件； (2)事件A：“恰有两次正面向上”包含几个基本事件；

(3)事件B：“三次都正面向上”包含几个基本事件．

解：(1)试验的所有基本事件有：(正，正，反)，(正，反，正)，(正，反，反)，(正，正，正)，(反，反，反)，(反，反，正)，(反，正，反)，(反，正，正)，共8种等可能结果．

(2)事件A包含的基本事件有三个：(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)．

(3)事件B包含的基本事件只有一个：(正，正，正)．

【点拨】基本事件是试验中不能再分解的事件，是“最小”的“事件单位”．任何基本事件都是互斥的，任何复杂事件都可以分解为基本事件，所有基本事件的全体组成基本事件空间．

做抛掷两颗骰子的试验，用(x，y)表示

结果，其中x表示第一颗骰子出现的点数，y表示第二颗骰子出现的点数，写出：

(1)试验的基本事件；

(2)事件“出现点数之和大于8”； (3)事件“出现点数相等”； (4)事件“出现点数之和大于10”． 解：(1)这个试验的基本事件为

(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)， (2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)， (3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)， (4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，

(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)， (6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)． (2)“出现点数之和大于8”包含以下10个基本事件：

(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)．

(3)“出现点数相等”包含以下6个基本事件：(1，

1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)，(5，5)，(6，6)．

(4)“出现点数之和大于10”包含以下3个基本事件：(5，6)，(6，5)，(6，6)．

类型二 列举基本事件求概率

某校夏令营有3名男同学A，B，C和3

名女同学X，Y，Z，其年级情况如下表： 一年级 二年级 三年级 男同学 A B C 女同学 X Y Z 现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛(每人被选到的可能性相同)．

(1)用表中字母列举出所有可能的结果； (2)设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件M发生的概率．

解：(1)从6名同学中随机选出2人参加知识竞赛的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，X}，{A，Y}，{A，Z}，{B，C}，{B，X}，{B，Y}，{B，Z}，{C，X}，{C，Y}，{C，Z}，{X，Y}，{X，Z}，{Y，Z}，共15种．

(2)选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学的所有可能结果为{A，Y}，{A，Z}，{B，X}，{B，Z}，{C，X}，{C，Y}，共6种．

因此，事件M发生的概率P(M)＝62

15＝5

.

【点拨】有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．(1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举．(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使

用．

(2015·北京)A，B两组各有7位病人，

他们服用某种药物后的康复时间(单位：天)记录如下：

(2)记B＝{从10件产品中抽2件，一件为正品，

1

一件为次品}，则m2＝card(B)＝C12C8.

1C1162C8所以P(B)＝2＝.

C1045

(3)解法一：由于事件B中包含“第1次为正品，A组：10，11，12，13，14，15，16 B组：12，13，15，16，17，14, a

假设所有病人的康复时间相互独立，从A，B两组随机各选1人， A组选出的人记为甲，B组选出的人记为乙．

(1)求甲的康复时间不少于14天的概率； (2)如果a＝25，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；

(3)当a为何值时，A，B两组病人康复时间的方差相等？(结论不要求证明)

解：(1)甲有7种选法，康复时间不少于14天的

有3种选法，所以所求概率为3

7

.

(2) 如果a＝25，从A，B两组随机各选1人，共有49种选法，甲的康复时间比乙的康复时间长的情形列举如下：(13，12)，(14，12)，(14，13)，(15，12)，(15，13)，(15，14)，(16，12)，(16，13)，(16，15)，

(16，14)，有10种，所以所求概率为10

49

.

(3)把B组数据调整为a，12，13，14，15，16，17，或12，13，14，15，16，17，a，可见当a＝11或a＝18时，B组数据与A组数据方差相等．

类型三 无放回抽样问题

有10件产品，其中有2件次品，每次抽

取1件检验，抽检后不放回，共抽2次．求下列事件的概率：

(1)两次抽取的都是正品； (2)抽到的恰有一件为次品；

(3)第1次抽到正品，第2次抽到次品． 解：记Ω＝{从10件产品中任抽2件}，则n＝card(Ω)＝C210.

(1)记A＝{从10件产品中抽2件，都是正品}， 则m1＝card(A)＝C28.

所以P(A)＝C2828C2＝1045

.

第2次为次品”和“第1次为次品，第2次为正品”两种等可能的情况．

112C2C

18所以所求事件的概率P＝C2＝8

1045

.

解法二：记Ω′＝{从10件产品中，任取一件(放入甲袋中)，再从剩下9件产品中任取一件(放入乙袋中)}，记C＝{第1次取出的是正品，第2次取出的是次品}＝{甲袋中为正品，乙袋中为次品}，所以card(Ω′)

＝A210，card(C)＝C18C1

2.

所以P(C)＝C18C128A2＝1045

. 【点拨】请注意题(3)的两种解法，一种是将试验(抽取2件产品)看作是组合(无序的)，一种是将试验看作是排列(有序的)，值得注意的是两种解法的样本空间不同，事件C不属于样本空间Ω(C Ω)，因此不能用card(Ω)进行计算．样本空间的选取会影响到解答的过程，因此解等可能概型时，建议遵循以下步骤：①判断该问题是等可能概型；②确定样本空间(即试验的方法，因为试验的方法影响样本空间)；③用计数原

理确定card(Ω)与card(A)，得到P(A)＝card（A）

card（Ω）

.

(2015·四川)某市A，B两所中学的学生

组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生、2名女生，B中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训．由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队．

(1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率； (2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取

4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X的分布列和数学期望．

解：(1)由题意，参加集训的男、女生各有6名． 7×7×3773

即P＝××＝0.147；③注意＝0.147与

1010101037×6×3

＝0.175的区别．

代表队的学生全从B中学抽取(等价于A中学没

C33有学生入选代表队)的概率为3C3C4C3＝166100.

因此，A中学至少有1名学生入选代表队的概率为1－1100＝99

100

.

(2)根据题意，X的可能取值为1，2，3.

P(X＝1)＝C13C331

C4＝，

65

P(X＝2)＝C23C233

C4＝，

65P(X＝3)＝C33C13C4＝1

65

.

所以X的分布列为 X 1 2 3 P 1 3155 5 因此，X的数学期望为

E(X)＝1×P(X＝1)＋2×P(X＝2)＋3×P(X＝3)

＝1×15＋2×35＋3×15

＝2.

类型四 有放回抽样

10个球，其中3个白球7个黑球，某人

有放回地进行抽球，求下列事件的概率：

(1)第3次抽到白球； (2)第3次才抽到白球．

解：(1)记Ω＝{第3次抽球}，则n＝10，A＝{第

3次抽到白球}，m＝3.所以P(A)＝3

10

＝0.3.

(2)记Ω′＝{连续从10个球中有放回地抽3次球}，则n＝103，B＝{第3次才抽到白球}，则m＝7×7×3.

所以P(B)＝7×7×3

103＝0.147.

【点拨】①第一问中的样本空间也可以扩大为(2)中的Ω′，此时(1)中的m有变化，但结果为

10×10×3

103＝0.3不变；②运用独立性概念也可以计算(2)的概率，

10×9×8

(2017·山西四校联考)不透明的袋子内

装有相同的五个小球，分别标有1～5五个编号，现有放回地随机摸取三次，则摸出的三个小球的编号乘积能被10整除的概率为( ) A.42186125 B.125 C.1225 D.125

解：由题意有三种情况：一是5号摸出两次，2号或4号摸出一次；二是5号摸出一次，2号或4号摸出两次；三是5号摸出一次，2号或4号摸出一次，

1号或3号摸出一次，总共有C23×2＋C13×22＋C13×C1

2

×2×2＝42，故所求概率为425×5×5＝42

125

，故选A.

类型五 间接计算

4位同学各自在周六、周日两天中任选一

天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为( )

A.18 B.3578 C.8 D.8

解：4名同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动的情况有24＝16(种)，其中仅在周六或周日参加公益活动的情况各有1种，所以所求概率为1－1＋116＝78

.故选D.

【点拨】间接计算是计算概率十分常用的方式，是“正难则反”策略的体现，对于含“至多”“至少”等词句的概率问题，一般情况下应首先考虑利用这一策略．高考概率大题对间接计算的考查也比较常见，尤其是计算含个别比较复杂概率的分布列或期望问题．

(2016·金华模拟)从1，2，3，4，5，6