2019届高考数学(理科)一轮复习达标检测(四十一) 圆锥曲线的综合问题——直线与圆锥曲线的位置关系

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高考达标检测（四十一） 圆锥曲线的综合问题

——直线与圆锥曲线的位置关系

一、选择题

1．已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，且点A在第一象限，若|AF|＝3，则直线l的斜率为( )

A．1 C.3

B.2 D．22

解析：选D 由题意可知焦点F(1,0)，设A(xA，yA)， 由|AF|＝3＝xA＋1，得xA＝2，又点A在第一象限， 故A(2,22)，故直线l的斜率为22.

2．若直线y＝kx＋2与抛物线y2＝x有一个公共点，则实数k的值为( ) 1A. 81

C. 或0 8

B．0 D．8或0

?y＝kx＋2，?

解析：选C 由?2得ky2－y＋2＝0，

??y＝x，

若k＝0，直线与抛物线有一个交点，则y＝2， 1

若k≠0，则Δ＝1－8k＝0，∴k＝，

81

综上可知k＝0或 .

8

x2y2

3．已知双曲线C：2－2＝1(a>0，b>0)，过点P(3,6)的直线l与C相交于A，B两点，

ab且AB的中点为N(12,15)，则双曲线C的离心率为( )

A．2 35C.

5

3B. 2D.5 2

解析：选B 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

由AB的中点为N(12,15)，得x1＋x2＝24，y1＋y2＝30，

?由?xy

?a－b＝1，

222222x2y2112－2＝1，ab

?x1＋x2??x1－x2??y1＋y2??y1－y2?

两式相减得：＝，

a2b2..

..

y1－y2b2?x1＋x2?4b2则＝＝2. x1－x2a2?y1＋y2?5a由直线AB的斜率k＝4b2b25∴2＝1，则2＝， 5aa4c∴双曲线的离心率e＝＝a

b231＋2＝. a2

15－6

＝1， 12－3

4．已知抛物线C：y2＝8x与点M(－2,2)，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，―→―→

B两点．若MA·MB＝0，则k＝ ( )

1

A. 2C.2

B.2 2

D．2

解析：选D 如图所示，设F为焦点，取AB的中点P，过A，B分别作准线l的垂线，垂足分别为G，H，连接MF，MP，

11―→―→

由MA·MB＝0，知MA⊥MB，则|MP|＝|AB|＝(|AG|＋|BH|)，

22所以MP为直角梯形BHGA的中位线，

所以MP∥AG∥BH，所以∠GAM＝∠AMP＝∠MAP， 又|AG|＝|AF|，AM为公共边，所以△AMG≌△AMF， 所以∠AFM＝∠AGM＝90°，则MF⊥AB，所以k＝－

＝2.

kMF1

x2y2

5．已知F是双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，A，B分别为其左、右顶点．O

ab为坐标原点，D为其上一点，DF⊥x轴．过点A的直线l与线段DF交于点E，与y轴交于点M，直线BE与y轴交于点N，若3|OM|＝2|ON|，则双曲线的离心率为( )

A．3 C．5

B．4 D．6

解析：选C 如图，设A(－a,0)，B(a,0)，M(0，2m)，N(0，－3m)． 2m3m则直线AM的方程为y＝ax＋2m，直线BN的方程为y＝ax－3m. ∵直线AM，BN的交点D(c，y0)， 2mc3mcc

∴a＋2m＝a－3m，则a＝5， ∴双曲线的离心率为5.

x22

6．斜率为1的直线l与椭圆＋y＝1相交于A，B两点，则|AB|的最大值为( )

4

..

..

A．2 410C.

5

45B. 5810D.

5

解析：选C 设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线l的方程为y＝x＋t，

?x2＋4y2＝4，?由?消去y，得5x2＋8tx＋4(t2－1)＝0. ??y＝x＋t

4?t2－1?8

则x1＋x2＝－t，x1x2＝.

55

∴|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋k2·?x1＋x2?2－4x1x2 ＝2·

?－8t?2－4×4?t－1?＝42·5－t2， ?5?55

410

. 5

2故当t＝0时，|AB|max＝二、填空题

2

7．焦点是F(0,52)，并截直线y＝2x－1所得弦的中点的横坐标是的椭圆的标准方程7为__________．

y2x2

解析：设所求的椭圆方程为2＋2＝1(a>b>0)，直线被椭圆所截弦的端点为A(x1，y1)，

abB(x2，y2)．

x1＋x2y1＋y2?

由题意，可得弦AB的中点坐标为??2，2?， 且

x1＋x22y1＋y23

＝，＝－. 2727

y2x2112＋2＝1，ab

222222?

将A，B两点坐标代入椭圆方程中，得?yx

?a＋b＝1.

y1－y2y1＋y2a

两式相减并化简，得2＝－·＝－2×

b4x1－x2x1＋x2

7

2

－

67

＝3，

所以a2＝3b2.又c2＝a2－b2＝50，所以a2＝75，b2＝25. y2x2

故所求椭圆的标准方程为＋＝1.

7525y2x2

答案：＋＝1

7525

x2y2

8．经过双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，倾斜角为60°的直线与双曲线有且只

ab

..

..

有一个交点，则该双曲线的离心率为________．

x2y2

解析：∵经过双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，

ab倾斜角为60°的直线与双曲线有且只有一个交点，

b

∴根据双曲线的几何性质知所给直线应与双曲线的一条渐近线y＝ax平行， b

∴＝tan 60°＝3，即b＝3a， ac

∴c＝a2＋b2＝2a，故e＝＝2.

a答案：2

9．抛物线x2＝4y与直线x－2y＋2＝0交于A，B两点，且A，B关于直线y＝－2x＋m对称，则m的值为________．

解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2),

2??x＝4y，联立?消去y，得x2－2x－4＝0.

??x－2y＋2＝0

则x1＋x2＝2，

x1＋x2

＝1. 2

y1＋y231

∴y1＋y2＝(x1＋x2)＋2＝3，＝.

222∵A，B关于直线y＝－2x＋m对称， ∴AB的中点在直线y＝－2x＋m上， 37

即＝－2×1＋m，解得m＝. 227答案：

2三、解答题

x2y2310．椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的离心率为，过右焦点F2(c,0)垂直于x轴的直线与

ab3椭圆交于P，Q两点且|PQ|＝

(1)求椭圆C的方程；

(2)若椭圆C上两点A，B关于直线l对称，求△AOB面积的最大值． 2b243

解：(1)由题意可知|PQ|＝a＝. ①

3c

又椭圆的离心率e＝a＝

b2b223

1－2＝，则2＝， ② a3a3

43

，又过左焦点F1(－c,0)作直线l交椭圆于两点． 3

由①②解得a2＝3，b2＝2，

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