2018版高考数学一轮复习第四章三角函数与解三角形4.5三角函数的图象和性质真题演练集训理新人教A版

3cos x[解] 由y＝，得ysin x－3cos x＝－2y，

2＋sin x所以y＋3sin(x－φ)＝－2y(其中φ为辅助角)， 所以sin(x－φ)＝

－2y2

y2＋3

，

又|sin(x－φ)|≤1，

?－2y??－2y?2

所以?2?≤1，?2?≤1，

?y＋3??y＋3?

解得－1≤y≤1，故ymax＝1，ymin＝－1.

4．y＝a(sin x±cos x)＋bsin xcos x＋c型函数的最值

对于y＝a(sin x＋cos x)＋bsin xcos x＋c，令sin x＋cos x＝t，t∈[－2，2 ]，因为(sin x＋cos x)＝1＋2sin xcos x，所以sin xcos x＝

2

t2－1

2

，则函数就变为y＝at＋

b·

t2－1

2

＋c的形式，因此，此类函数的最值也可通过换元转化为二次函数的最值问题．对于

形如y＝a(sin x－cos x)＋bsin xcos x＋c的函数也可采用同样的方法，另外，此类题目也应注意换元前后变量的取值范围要保持相同．

[典例4] 求函数y＝(4－3sin x)(4－3cos x)的最小值． [思路分析]

[解] y＝16－12(sin x＋cos x)＋9sin xcos x， 令t＝sin x＋cos x，则t∈[－2，2]， 且sin xcos x＝

t2－1

2

，

所以y＝16－12t＋9×

t2－11

＝(9t－24t＋23)．

22

2

47

故当t＝时，ymin＝. 32

5．通过换元转化为代数函数的最值

5

通过换元的方法将三角函数的最值问题转化为代数函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性等求函数的最值．

3sin x[典例5] 已知x∈(0，π)，求函数y＝2的最大值．

1＋3sinx[思路分析] 令sin x＝tt3

→转化为求代数函数y＝的最值

1＋3tt→利用基本不等式求最值 [解] 令sin x＝t(0

3t3

≤2＝1＋3t1

＋3t231

＝， 21

·3ttt当且仅当t＝31时等号成立．故ymax＝. 32

2

[典例6] 已知x∈(0，π)，求函数y＝sin x＋的最小值．

sin x[思路分析] 令sin x＝t(0

则原函数可化为y＝t＋，

tt2－2t－2t＋2

因为y′＝1－2＝2＝， 2

ttt2

2

所以当0

t2

即函数y＝sin x＋的最小值是3.

sin x温馨提示

y＝sin x＋

型三角函数求最大值时，当sin x>0，a>1时，不能用基本不等式求最sin xa值，宜用函数在区间上的单调性求解．

6