2018版高考数学一轮复习第四章三角函数与解三角形4.5三角函数的图象和性质真题演练集训理新人教A版

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数的图象和性质真题演练集训 理 新人教A版

1．[2015·四川卷]下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( ) π??A．y＝cos?2x＋? 2??C．y＝sin 2x＋cos 2x 答案：A

π?2π?解析：y＝cos?2x＋?＝－sin 2x，最小正周期T＝＝π，且为奇函数，其图象关于2?2?π??原点对称，故A正确；y＝sin?2x＋?＝cos 2x，最小正周期为π，且为偶函数，其图象关

2??于?

π??B．y＝sin?2x＋?

2??D．y＝sin x＋cos x

?π＋kπ，0?对称，故B不正确；C，D均为非奇非偶函数，其图象不关于原点对称，故C，

?2?4?

2．[2016·浙江卷]设函数f(x)＝sinx＋bsin x＋c，则f(x)的最小正周期( ) A．与b有关，且与c有关 B．与b有关，但与c无关 C．与b无关，且与c无关 D．与b无关，但与c有关 答案：B

1－cos 2x2

解析：由于f(x)＝sinx＋bsin x＋c＝＋bsin x＋c.当b＝0时，f(x)的最小

2

2

D不正确．

正周期为π；当b≠0时，f(x)的最小正周期为2π.c的变化会引起f(x)图象的上下平移，不会影响其最小正周期．故选B.

π?π?3．[2016·新课标全国卷Ⅰ]已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)?ω>0，|φ|≤?，x＝－为2?4?

?f(x)的零点，x＝为y＝f(x)图象的对称轴，且f(x)在?，

( )

A．11 C．7 答案：B

B．9 D．5

π

4

π5π??上单调，则ω的最大值为

?1836?

1

πππkTT解析：因为x＝－为函数f(x)的零点，x＝为y＝f(x)图象的对称轴，所以＝＋442242ππ11?π5π?(k∈Z，T为周期)，得T＝(k∈Z)．又f(x)在?，?上单调，所以T≥，k≤.又

2k＋162?1836?ππ?π5π?当k＝5时，ω＝11，φ＝－，f(x)在?，?上不单调；当k＝4时，ω＝9，φ＝，44?1836?

?f(x)在?，

π5π??上单调，满足题意，故ω＝9，即ω的最大值为9.

?1836?

2

4．[2015·浙江卷]函数f(x)＝sinx＋sin xcos x＋1的最小正周期是________，单调递减区间是________．

3π7π??答案：π ?kπ＋，kπ＋?(k∈Z)

88??解析：∵f(x)＝sinx＋sin xcos x＋1 ＝

1－cos 2x1

＋sin 2x＋1 22

2

113＝sin 2x－cos 2x＋ 222＝

π?32?

sin?2x－?＋，

4?22?

∴ 函数f(x)的最小正周期T＝π. ππ3π

令＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z， 242解得kπ＋

3π7π

≤x≤kπ＋(k∈Z)，故函数f(x)的单调递减区间为88

?kπ＋3π，kπ＋7π?(k∈Z)．

??88??

?π?5．[2015·重庆卷]已知函数f(x)＝sin?－x?sin x

?2?

－3cosx.

(1)求f(x)的最小正周期和最大值； (2)讨论f(x)在?

2

?π，2π?上的单调性．

3??6?

?π?2

解：(1)f(x)＝sin?－x?sin x－3cosx

?2?

＝cos xsin x－

3

(1＋cos 2x) 2

133＝sin 2x－cos 2x－ 222

2

π?3?＝sin?2x－?－， 3?2?

2－3

因此f(x)的最小正周期为π，最大值为.

2π?π2π?(2)当x∈?，?时，0≤2x－≤π.

3?3?6

πππ5π

当0≤2x－≤，即≤x≤时，f(x)单调递增；

32612ππ5π2π

当≤2x－≤π，即≤x≤时，f(x)单调递减． 23123

?π5π??5π，2π?上单调递减． 综上可知，f(x)在?，?上单调递增；在??3??612??12

课外拓展阅读 三角函数的最值问题

三角函数的最值问题是三角函数中最基本的问题，是历年高考考查的重点和热点内容，对于这类问题如果能找到恰当的方法，掌握其规律，就可以简捷地求解．前面考点3中介绍了两种类型，还有如下几种常见类型．

1．y＝asinx＋bsin x＋c型函数的最值

可将y＝asinx＋bsin x＋c中的sin x看作t，即令t＝sin x，则y＝at＋bt＋c，这样就转化为二次函数的最值问题．但这里应注意换元前后变量的取值范围要保持不变，即要根据给定的x的取值范围，求出t的范围．另外，y＝acosx＋bcos x＋c，y＝asinx＋bcos x＋c等形式的函数的最值都可归为此类．

2

2

2

2

2

?π2π?2

[典例1] 设x∈?－，?，求函数y＝4sinx－12sin x－1的最值．

3??6

[思路分析]

?π2π??1?令t＝sin x，x∈?－，?→t∈?－，1? 3??6?2?

→求得y＝4t－12t－1的最值，即原函数的最值

2

?π2π?[解] 令t＝sin x，由于x∈?－，?，

3??6?1?故t∈?－，1?.

?2?

3?2?t－y＝4t－12t－1＝4??－10， ?2?

2

?1?因为当t∈?－，1?时，函数单调递减， ?2?

3

1π

所以当t＝－，即x＝－时，ymax＝6；

26π

当t＝1，即x＝时，ymin＝－9.

2

2．y＝asinx＋bsin xcos x＋ccosx型函数的最值

2

2

?21－cos 2x，cos2x＝1＋cos 2x，sin xcos x＝sin 2x?将y＝

可利用降幂公式?sinx＝222???

asin2x＋bsin xcos x＋ccos2x整理转化为y＝Asin 2x＋Bcos 2x＋C求最值．

π??[典例2] 求函数y＝sin x(cos x－sin x)?0

4??[思路分析]

[解] y＝sin x(cos x－sin x) ＝sin xcos x－sinx 11－cos 2x＝sin 2x－ 2211＝(sin 2x＋cos 2x)－ 22＝

π?12?

sin?2x＋?－.

4?22?

2

πππ3π

因为0

4444

πππ2－1

所以当2x＋＝，即x＝时，ymax＝. 42823．y＝

asin x＋c型函数的最值

bcos x＋d此类题目的特点是分子或分母中含有sin x或cos x的一次式的形式，一般可将其化为

f(y)＝sin(ωx＋φ)的形式，然后利用三角函数的有界性求其最值．

3cos x[典例3] 求函数y＝的最值．

2＋sin x[思路分析]

4