中考试题中的数学思想方法例析

中考试题中的数学思想方法例析

山东省临沭县第一初级中学 刘金广

分析近几年的中考试题，不难看出,中考命题都遵循着两条线:一条是明线：以选择题、填空题、解答题等外在形式考察数、式、方程、函数、三角形、四边形、圆等初中数学的重点内容；一条是暗线：通过试题重点考察初中数学常用的思想方法。数学思想方法是数学的生命和灵魂，是数学知识的精髓，是把知识转化为能力的桥梁。随中考改革的深入,中考试题从知识型转到能力型，更加突出了对数学思想方法的考察。

一、数学思想

初中阶段常用的数学思想有：数形结合思想、分类讨论思想、整体思想、转化思想、方程思想、函数思想等。

1、数形结合思想

就是把数式与图形结合起来、代数与几何结合起来，进行分析、研究、解决问题的思维策略。

例1 已知：a>0,b<0,a+b<0,那么下列各式中正确的是（ ） Ａ -b<-a

分析：本题考察数的大小比较，灵活性强,用代数的方法思考，极易出错；若借助数轴，利用图形，则一目了然。

-b -a 0 a b 解：根据a>o,b<0,a+b<0,易在数轴上标出a、b的位置(如图),再标出-a、-b的位置，显然有b<-a

在同一直角坐标系例2 二次函数y=x2+x+1与反比例函数y= 1x中交点的个数是( )

A 0 B 1 C 2 D 3

分析:如果用代数方法，解方程组代入求得:x3+x2-1=0,来讨论三次方程根的个数,是困难的 ；如果在同一直角坐标系中,分别作出y=x2+x+1和y= 1 的草图(如图2),容易看到:两曲线只有一个交点,故

x应选B

yy = x2+x+1

1y = x0 x-1-

2、分类讨论思想

数学中的分类讨论就是把研究的对象所可能出现的情况不重复、无遗漏的分别加以讨论，从而获得完整的解答。

例3 某单位计划5月份组织员工到H地旅游，人数估计在10-25人之间。甲、乙两旅行社的服务质量相同，且价格都是每人200元。该单位联系时，甲旅行社表示可予每位游客七五折优惠；乙旅行社表示可免去一位游客的旅游费用，其余游客八折优惠。问该单位应怎样选择，使其支付的旅游费用较少？

分析：本例是市场决策型分类，具有时代特色，解决此题的关键是以到H地旅游人数为标准，分为三种情况逐一讨论。

解：设该单位到H地旅游人数为x人，选择甲旅行社所需费用为y1元，选择乙旅行社所需费用为y2元，则有

y1=200×0.75x,即y1=150x;

y2=200×0.8(x-1)，即y2=160x-160. （1）若y1＝y2，解得x=16； （2）若y1＞y2,解得x<16; （3）若y1＜y2,解得x>16.

所以，当人数为16人时，选择甲或乙旅行社所付费用一样多，即可任选其一 ；当人数在17---25人之间时，选择甲旅行社所需费

用较少；当人数在10---15人之间时，选择乙旅行社所需费用较少。

3、转化思想

数学解题 的过程实际就是转化的过程,换句话说,解题就是把所要解决的问题转化为已经熟悉的问题的过程,通过对条件的转化,结论的转化,使问题化难为易,化生为熟,最终求得问题的解答.

例4 如图,某小区规划在一个长40米,宽26米的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的小路,使其中两条与AB平行,另一条与AD平行,其余部分种草,若使每一块草坪的面积都为144米2,求小路的宽度.

分析:若从总面积中减去各条小路的面积,计算较繁,且因有重合部分,极易出错;不妨把各条小路平移到边上,把各小块草坪转化为一大块草坪去思考,问题就易解决了.把不规则图形转化为规则图形,是解决本题的 关键. -2-

解:设小路宽为x米,可得(40－2x)(26-x)＝144×6, 解得x＝2 答:略.

4、方程思想

方程思想是指对所求问题通过列方程（组）求解 的 一种思维方法，中考试题中用方程思想求解的题目随处可见。同时，方程思想也是解几何计算题的重要策略。

例5 如图，已知在ABC中，∠B=90°,O是AB上一点，以OOB为半径的圆与AB交于点E，AD=2,AE=1,为圆心，与AC切于点D，

求CD的长。

分析：本题分别应用切割线定理和勾股 定理，列出方程，问题即得到解决。

解：由∠B=90°，可知BC⊥AB. ∵BE为⊙O的直径,

C

∴CB切⊙O于B

D ∵AC切⊙O于点D,

∴CD=CB A B 2E O 由切割线定理,可得AD=AE×AB

∴AB= 2 2

AD2AC=x+2, = = 4设CD=x,则AE1由勾股定理,可得AC2=AB2+BC2 即(x+2)2=42+x2,

化简,整理并解之,得CD=x=3. 5.函数思想

函数思想就是用运动、变化的观点来观察、分析问题，并借助函数关系思考解决问题。

例6 某大学的校门是一抛物线形水泥建筑物(如图1)，大门的地面宽度为8米，两侧距地面4米高处各有一个挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6米，求校门的高。（精确到0.1米,水泥建筑物厚度忽略不计)

分析:将问题转化为二次函数进行研究,建立适当的坐标系,确定函数解析式,再求函数值.

-3-

38解:以大门所在平面与地面的交线为x轴,以大门的对称轴为y轴,建立直角坐标系(如图2),则A(-4,0)、B（4，0）、C（3，4）、D（-3，4）.

设函数解析式为y=a(x+4)(x-4). ∵C(3,4)在抛物线上,

∴4=a(3+4)(3-4), ∴a= - ,

4∴ y= - (x+4)(x-4). 74∵门高即为函数的顶点的纵坐标,如图顶点(0,y),

7∴当x=0时,y= - (0+4)(0-4)= ≈9.1(米)

4646、整体思想

77按常规求某一未知量不易时，可打破常规，由题目的结构特征，把一组数或一个代数式看作一个整体，从而使问题得到解决。

例7 已知方程组 求 的值 。

2x + 4y-16x-9yx +2y = 1, ①.解答比较 +分析:此题若从方程组中解出的值再代入代数式求值242x-3y = 2. ②麻烦.若注意到所求代数式与方程的关系,用整体法求解将比较简便.

解:把方程①×2,②×3得2x+4y=2, 6x-9y=6 整体代入得 原式=

2-1613 + = + = 2二、 数学方法2422初中数学常用的数学方法有:换元法、配方法、参数法、特殊值法、待定系数法等。

1、换元法就是用新元代替旧元,通过变量代换创造条件，化难为易，化繁为简,使问题得到解决。

x 2-1) =11 例8 解方程 2 + 3(8(x+2x) 2 分析：此题如果用去分母的方法，所得的整式方程为：2x +2xx-18(x2+2x)2+3(x2-1)2=11(x2-1)(x2+2)

展开整理后，一则很繁，再则不是二次方程，难以解决；仔细观察，可以看出方程左边两个分式中的 2 与 2 互为倒数，

x-1x根据这一特点，可以用换元法来解。 x+2x2 +2xx2-1解:设 2 =y,那么 2 = ,于是原方程变形为8y+ =11,

3x+22xx-11-11y+3=0, 整理得8y22yx-1x +2xy-4-