四川省大竹县文星中学高一数学12月月考试题

x2＋(a－1)x＋1＝0无实根，

∴Δ＝(a－1)－4＝a－2a－3＜0， ∴－1＜a＜3.

三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝log2x－1的定义域为集合A，函数g(x)＝2

2

12

)x(－1≤x≤0)的值域为集合B. (1)求A∩B；

(2)若C＝{x|a≤x≤2a－1}，且C?B，求实数a的取值范围． [解析] (1)要使函数f(x)有意义，应满足log2(x－1)≥0， ∴x－1≥1，∴x≥2. ∴A＝{x|x≥2}．

∴g(x)＝(12)x(－1≤x≤0)是减函数，

∴当x＝－1时，g(x)取最大值2， 当x＝0时，g(x)取最小值1， ∴B＝{x|1≤x≤2}，∴A∩B＝{2}． (2)∵C?B，

①当C＝?时满足题意，即a>2a－1，解得a<1；

②当C≠?时，则有???

a≥1

?，解得1≤a≤?

2a－1≤2

3

2

.

综上实数a的取值范围是(－∞，3

2

]．

18．(本小题满分12分)设a，b，c为正数，且满足a2

＋b2

＝c2

. (1)求证：log2(1＋b＋ca)＋log＋a－c2(1b)＝1； (2)若logb＋c4(1＋

a)＝1，logb－c)＝2

8(a＋3

，求a，b，c的值． [解析] (1)logb＋ca－c2(1＋a)＋log2(1＋b) ＝loga＋b＋ca2a＋log＋b－c2b ＝loga＋b2－c2

2ab

＝loga2＋b2－c2＋2ab2

ab

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( ＝log22＝1. (2)由log4(1＋得1＋

b＋c2

)＝1，log8(a＋b＋c)＝， a3

b＋c222

＝4，a＋b－c＝4，又a＋b＝c， ab＋c＝3a??

整理可得?a＋b－c＝4

??a2＋b2＝c2

，

解得a＝6，b＝8，c＝10.

19．(本小题满分12分)2009年某个体企业受金融危机和国家政策调整的影响，经历了从亏损到盈利的过程，下面的二次函数图象(部分)刻画了该公司年初以来的累积利润S(万元)与时间t(月)之间的关系(即前t个月的利润总和S与t之间的关系，0≤t≤12)．请根据图象提供的信息解答下列问题：

(1)求累积利润S(万元)与时间t(月)之间的函数关系式； (2)截止到第几月末公司累积利润可达到9万元？ (3)该企业第四季度所获利润是多少？ [解析]设S(t)＝at＋bt＋c， 将点(0,0)，(6,0)，(3，－3)代入得 36a＋6b＝0??

?9a＋3b＝－3??c＝0

2

1

a＝??3

，解得?b＝－2

??c＝0

.

12

∴函数关系式S(t)＝t－2t(0≤t≤12)．

312

(2)令S＝9即t－2t＝9，

3解得t＝9或t＝－3(舍)，

∴截止到9月末公司累积利润可达到9万元． 1

(3)S(12)＝×144－2×12＝24(万元)，

3

- 6 -

S(9)＝×81－2×9＝9(万元)，

∴第四季度获利S(12)－S(9)＝24－9＝15(万元)． 答：第四季度所获利润为15万元．

20．(本小题满分12分)若关于x的方程x＋mx＋m－1＝0有一个正根和一个负根，且负根的绝对值较大，求实数m的取值范围．

[解析] 根据题意，画出f(x)＝x＋mx＋m－1的图象，如图所示．

2

2

13

图象的对称轴为直线x＝－.

2

因为方程x＋mx＋m－1＝0有一个正根和一个负根， 则函数f(x)有两个零点x1，x2， 由题意不妨设x1>0，x2<0，且|x1|<|x2|.

2

mf0<0??

由题意，有?m－<0??2

∴ 0

??m－1<0

，故?

?m>0?

.

即所求的取值范围为(0,1)．

21．(本小题满分12分)已知定义在R上的函数f(x)满足f(log2x)＝x＋，a为常数． (1)求函数f(x)的表达式； (2)如果f(x)为偶函数，求a的值；

(3)如果f(x)为偶函数，用函数单调性的定义讨论f(x)的单调性． [解析] (1)令log2x＝t，则x＝2. ∴f(t)＝2＋t. 2∴f(x)＝2＋x(x∈R)．

2(2)由f(－x)＝f(x)，则2＋

x－x－xaxttaax＝2＋x， 22

－xaxa∴(2－2)(1－a)＝0对x∈R均成立． ∴1－a＝0，即a＝1.

- 7 -

(3)当a＝1时，f(x)＝2x＋12x，

设0≤x1

f(x111)－f(x2)＝2x1＋2x1－(2 x2＋2

x2) ＝(2 x1－2 x2)(1－

1

2 x1＋x2

)， ∵2 x1－2 x2<0,1－

1

2 x1＋x2

>0， ∴f(x1)－f(x2)<0. 即f(x1)

因此f(x)在区间[0，＋∞)上是增函数． 同理当x1

f(x1)－f(x2)>0，

∴f(x)在区间(－∞，0)上是减函数．

22．(本小题满分14分)已知函数f(x)＝lg(mx－2x)(0

2

时，求f(x)的定义域；

(2)试判断函数f(x)在区间(－∞，0)上的单调性并给出证明； (3)若f(x)在(－∞，－1]上恒取正值，求m的取值范围．

[解析] (1)当m＝11xx－xx2时，要使f(x)有意义，须(2)－2>0，即2>2，可得：－x>x，∴x<0

∴函数f(x)的定义域为{x|x<0}．

(2)设x2<0，x1<0，且x2>x1，则Δ＝x2－x1>0 令g(x)＝mx－2x，

则g(xx x x x2)－g(x1)＝m2－22－m1＋21 ＝m x2－m x1＋2 x1－2 x2 ∵0

g(x2)－g(x1)<0，∴g(x2)

∴lg[g(x2)]

(3)由(2)知：f(x)在(－∞，0)上是减函数，

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∴f(x)在(－∞，－1]上也为减函数，

∴f(x)在(－∞，－1]上的最小值为f(－1)＝lg(m－1

－2－1

) 所以要使f(x)在(－∞，－1]上恒取正值， 只需f(－1)＝lg(m－1

－2－1

)>0， 即m－1－2－1

>1，∴1m>1＋12＝32，

∵0

3.

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