备战2018年高考数学一轮复习（热点难点）专题45空间几何体的表面积和体积

。 。 。 内部文件，版权追溯 内部文件，版权追溯 专题45 空间几何体的表面积和体积

考纲要求:

1.了解球、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式． 2.了解球的表面积与体积的计算公式．

基础知识回顾:

一、多面体的表(侧)面积

多面体的各个面都是平面，则多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和． 二、旋转体的表(侧)面积

当圆台的上底面半径与下底面半径相等时，得到圆柱；当圆台的上底面半径为零时，得到圆锥，由此可得：S圆柱侧＝2πrlS圆台侧＝π(r＋r′)lS圆锥侧＝πrl 三、空间几何体的体积

1．柱体: V柱体＝Sh；V圆柱＝πrh. 2．锥体:V锥体＝3Sh；V圆锥＝3πrh.

2

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2

3．台体:V台体＝3(S＋＋S′)h；V圆台＝3πh(r＋rr′＋r′)．

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四、球的体积与表面积

1．球的表面积公式：S＝4πR；的体积公式V＝3πR

2

4

3

2．与球有关的切、接问题中常见的组合：

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(1)正四面体与球：如图1，设正四面体的棱长为a，内切球的半径为r，外接球的半径为R，取AB的中点为D，连接CD，SE为正四面体的高，在截面三角形SDC内作一个与边SD和DC相切，圆心在高SE上的圆．因为正四面体本身的对称性，内切球和外接球的球心同为O.此时，CO＝OS＝R，OE＝r，SE＝ 3a，CE＝3a，则有R＋r＝ 3a，R－r＝|CE|＝3，

232

222

a2

解得R＝4a，r＝12a.

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(2)正方体与球：

①正方体的内切球：截面图为正方形EFHG的内切圆，如图2所示．设正方体的棱长为a，则|OJ|＝r＝2(r为内切球半径)．

a

②与正方体各棱相切的球：截面图为正方形EFHG的外接圆，则|GO|＝R＝2a.

2

③正方体的外接球：截面图为正方形ACC1A1的外接圆，则|A1O|＝R′＝2a.

3

2

(3)三条侧棱互相垂直的三棱锥的外接球：

①如果三棱锥的三条侧棱互相垂直并且相等，则可以补形为一个正方体，正方体的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心．即三棱锥A1AB1D1的外接球的球心和正方体ABCD-

A1B1C1D1的外接球的球心重合．如图3，设AA1＝a，则R＝2a.

3

②如果三棱锥的三条侧棱互相垂直但不相等，则可以补形为一个长方体，长方体

的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心．R＝长)．

2

a2＋b2＋c2l2

4

＝4(l为长方体的体对角线

应用举例:

类型一、几何体的表面积

【例1】【江西省南昌县莲塘一中2018届高三11月质量检测】一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）

A.

【答案】C

B. C. D.

3

点睛：(1)以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系．

(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理． (3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和． 例2.如图，直角梯形

中，

，

，

，若将直角梯形绕

边旋转一周，则所得几何体的表面积为__________．

解析：几何体为一个圆锥与圆柱的组合体，表面积为

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