高考数学（文科，通用）二轮复习突破练word版：高考压轴大题突破练（含高考真题，打包4份）高考压轴大

高考压轴大题突破练(二) ——直线与圆锥曲线(2)

(推荐时间：70分钟)

x2y2

1．设椭圆2＋2＝1(a>b>0)的左，右焦点分别为F1，F2.点P(a，b)满足|PF2|＝|F1F2|.

ab(1)求椭圆的离心率e；

(2)设直线PF2与椭圆相交于A，B两点．若直线PF2与圆(x＋1)2＋(y－3)2＝16相交于M，N两点，5

且|MN|＝|AB|，求椭圆的方程．

8解 (1)设F1(－c,0)，F2(c,0)(c>0)， 因为|PF2|＝|F1F2|，所以cc

整理得2()2＋－1＝0，

aacc1

解得＝－1(舍)，或＝. aa21所以e＝.

2

(2)由(1)知a＝2c，b＝3c， 可得椭圆方程为3x2＋4y2＝12c2， 直线PF2的方程为y＝3(x－c)．

222??3x＋4y＝12c，

A，B两点的坐标满足方程组?

y＝3?x－c?.??

?a－c?2＋b2＝2c.

消去y并整理，得5x2－8cx＝0. 8

解得x1＝0，x2＝c.

5

??x1＝0，

得方程组的解?

??y1＝－3c，

?

?33?y＝5c.

2

8x2＝c，

5

833

不妨设A(c，c)，B(0，－3c)，

55所以|AB|＝

83316

?c?2＋?c＋3c?2＝c. 555

5

于是|MN|＝|AB|＝2c.

8

圆心(－1，3)到直线PF2的距离 |－3－3－3c|3|2＋c|d＝＝.

22|MN|2

因为d2＋()＝42，

23

所以(2＋c)2＋c2＝16.

4

26

整理得7c2＋12c－52＝0，得c＝－(舍)，或c＝2.

7x2y2

所以椭圆方程为＋＝1.

1612

2．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，焦距为215，且经过点M(4,1)，直线l：x－y＋m＝0交椭圆于不同的两点A，B. (1)求m的取值范围；

(2)若直线l不经过点M，求证：直线MA，MB的斜率互为相反数．

x2y2

(1)解 设椭圆的方程为2＋2＝1(a>b>0)，因为2c＝215，所以a2＝b2＋c2＝b2＋15，又因为椭圆过

ab161

点M(4,1)，所以2＋2＝1，解得b2＝5，a2＝20，

abx2y2

故椭圆方程为＋＝1，

205x2y2

将y＝x＋m代入＋＝1，

205整理得5x2＋8mx＋4m2－20＝0， Δ＝(8m)2－20(4m2－20)>0，解得－5

则x1＋x2＝－，x1x2＝.

55y1－1y2－1

k1＋k2＝＋ x1－4x2－4

?y1－1??x2－4?＋?y2－1??x1－4?＝，

?x1－4??x2－4?则(y1－1)(x2－4)＋(y2－1)(x1－4)

＝(x1＋m－1)(x2－4)＋(x2＋m－1)(x1－4) ＝2x1x2＋(m－5)(x1＋x2)－8(m－1) 2?4m2－20?8m?m－5?＝－－8(m－1)＝0.

55

所以k1＋k2＝0，即直线MA，MB的斜率互为相反数．

x2y21

3．已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线x

ab2－y＋6＝0相切，过点P(4,0)且不垂直于x轴的直线l与椭圆C相交于A、B两点． (1)求椭圆C的方程； →→

(2)求OA·OB的取值范围．

22

c1c2a－b142

解 (1)由题意知e＝＝，∴e＝2＝2＝，即a2＝b2，又b＝a2aa43

61＋1

＝3，∴a2＝4，b2＝3，

x2y2

∴椭圆的方程为＋＝1.

43

??y＝k?x－4?，

(2)由题意知直线AB的斜率存在，设直线PB的方程为y＝k(x－4)，由?x2y2

??4＋3＝1，

得(4k2＋3)x2－32k2x＋64k2－12＝0， 由Δ＝(－32k2)2－4(4k2＋3)(64k2－12)>0， 1

得k2<，

4

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

64k2－1232k2

则x1＋x2＝2，x1x2＝2，①

4k＋34k＋3

∴y1y2＝k(x1－4)k(x2－4)＝k2x1x2－4k2(x1＋x2)＋16k2，

2264k－1287→→2232k∴OA·OB＝x1x2＋y1y2＝(1＋k)·2－4k·2＋16k2＝25－2，

4k＋34k＋34k＋3

1

∵0≤k2<，

4

878787∴－≤－2<－，

344k＋38713∴－4≤25－2<，

4k＋34

13→→

∴OA·OB∈[－4，)，

4

13→→

即OA·OB的取值范围是[－4，)．

4

x2y2

4．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的离心率e＝

ab到点Q(0,2)的距离的最大值为3. (1)求椭圆C的方程．

(2)在椭圆C上，是否存在点M(m，n)，使得直线l：mx＋ny＝1与圆O：x2＋y2＝1相交于不同的两点A、B，且△OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的△OAB的面积；若不存在，请说明理由．

222a－bc2

解 (1)∵e2＝2＝2＝，

aa3

2，且椭圆C上的点3

∴a2＝3b2，

x2y2

∴椭圆方程为2＋2＝1，即x2＋3y2＝3b2.

3bb设椭圆上的点到点Q(0,2)的距离为d，则 d＝＝

?x－0?2＋?y－2?2＝3b2－3y2＋?y－2?2＝

x2＋?y－2?2

－2?y＋1?2＋3b2＋6，

3b2＋6＝3，

∴当y＝－1时，d取得最大值，且dmax＝解得b2＝1，∴a2＝3. x22

∴椭圆C的方程为＋y＝1.

3

m22

(2)假设存在点M(m，n)满足题意，则＋n＝1，

3即m2＝3－3n2.

设圆心到直线l的距离为d′，则d′<1， |m·0＋n·0－1|d′＝＝

22m＋n∴|AB|＝2

1m＋n

2

2

. 12－d′2＝2

11－22. m＋n111－22·

22m＋nm＋n

11

∴S△OAB＝|AB|d′＝·2

22