《数学模型》考试试卷

ra?pNpN2E??R(E)?(pN?a)E?(b?)ER2rb?pNr，令R??0得

1、在 随机存储策略中，请用图解法说明为什么s是方程1、由于方程（4）左边随着S的增加单调递增，因此而由

。

I(x)?c0?I(S)的最小正根。

J(u)有唯一驻点u?S?x且为最小值点。从而J(u)是下凸的。

J(u)和I(x)的表达式的相似性知I(x)也是下凸的，而且在x?S处达最小值 I(S)。

，

记

A?{xI(x)?c0?I(S)}B?{xI(x)?c0?I(S)}则集合

A与B的分界点即为订货点s，此即方程

I(x)?c0?I(S)的最小正根

2、请结合自身特点谈一下如何培养数学建模的能力？ 2、答：（回答要点）培养想象力和洞察力。

1、“商人怎样安全过河”模型中，从初始状态到终止状态中的每一步决策（ d）。 A.称之为状态

B.记为sk=(xk, yk)

C.是集合S中的元素 D.都是集合D中的元素

2、我们所建立的“人口指数增长”模型是根据微分方程（ c ）建立的。

A.

xk?x0(1?r)k

dx?rxdtB.

C.

x(t)?x0ert D.

x(t)?x0e?rt

3、“人口阻滞增长”模型的计算结果表明了（ d ）。

A.人口增长率为常数 B.人口增长率逐步变大 C.人口将按指数规律无限增长 D.人口将达到最大容量

4、“人口阻滞增长”模型表明人口增长率的规律是（ b ）。

A.人口增长率逐步变大 C.人口增长率先变小后变大

B.人口增长率先变大后变小 D.人口增长率逐步变小

5、建立起的“录像机计数器的用途”模型t

A.最小二乘估计

B.插值

?an2?bn中的参数a和b可用（c ）方法求得。

C.数值积分

D.统计推断

6、“双层玻璃的功效”模型中，建筑规范一般要求双层玻璃的间隙约为玻璃厚度的（ b ）。

A. 2倍

B. 1/2

C. 3倍

D. 4倍

7、“奶制品的生产与销售”模型中，以下说话错误的是（ b）。

A、资源剩余为零的约束为紧约束

B、资源的单位增量引起的效益增量称为“影子价格”

C、影子价格大于零的资源一定是紧约束 D、影子价格小于零的资源一定是松约束 8、“传染病模型”中所未涉及的模型是（ b ）。

A、SI模型

B、SIS模型

C、SID模型

D、SIR模型

9、“经济增长模型”中以下说法正确的是（ c ）。

A、

K(t)表示劳动力；

B、

?表示劳动力在产值中所占的份额；

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C、

QL表示资金创造的产值；

D、?表示资金创造的产值；

10、下列正则链和吸收链的说法中，错误的是（ d ）

A、正则链有任意状态都能达到； C、正则链存在唯一的极限状态概率；

B、吸收链可以包含多个吸收状态； D、吸收链的存在唯一极限状态概率。

2、“人口阻滞增长”模型是在“指数增长模型”的前提下， 假设人口增长率是人口数量的减函数 。 3、“人口阻滞增长”模型中，当人口数

x(t)?xm/2时，人口增长率最大；当人口数x(t)?xm时，人口增长率为0。

t?5、“录像带计数器的读数”多种方法建立的模型都是

?wk2vQ?n2?2?rknv。

k?Td。

6、“双层玻璃的功效”模型中，所依据的基本物理公式是

7、“传染病模型”中SIR模型是指被传染者康复以后具有免疫性, 不再感染该传染病。 8、“经济增长模型”中，衡量经济增长的指标有 总产值的增长 、 单位劳动力产值的增长 。

1、试用简练的语言全面的描述“商人怎样安全过河”该类问题。(10’)

答：求决策

dk?D(k?1,2,?,n)sn?1?(0,0)。

，使状态

sk?Sks?s?(?1)dk，则初始状态s1?(3,3)经有k按照转移律k?1限步n到达状态

3、分别采用三种方法，用一句话和一个公式描述录像带计数器读数与经过的时间之间的关系模型。(10’) 答：（1）当右轮盘转到第i圈时其半径为r?wi，周长为

2?(r?wi)，m圈的总长度恰等于录像带转过的长度，

即：

?2?(r?wi)?vti?1m；

22?[(r?wkn)?r]?wvt；

（2）考虑录像带转过的长度与厚度的乘积，等于右轮盘面积的增加，即：

（3）考虑用微积分的理论，有某小时间段dt内录像带转过的长度为速度v乘以dt，它等于右轮盘绕上的录像带

长度（由于m?vdt?2?(r?knw)kdn； kn），即：

t??wk2vn2?以上三种方法都可得到：

2?rknv。

4、简述差分方程平衡点的稳定性定义、三阶线性常系数差分方程平稳点稳定性的判别条件和非线性差分方程平稳点的稳定性判别条件。(10’)

答：（1）差分方程的平衡点x*若满足：当k（2）若三阶线性常系数差分方程

??时，xk?x*，则称平衡点x*是稳定的。

xk?2?a1xk?1?a2xk?b2??a1??a2?b的特征方程

的根

?i(i?1,2,3)

均有

?i?1，则该差分方程的平衡点x*是稳定的，否则是不稳定的。

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（3）非线性差分方程

xk?1?f(xk)的平衡点x*若满足

f'(x*)?1，则平衡点x*是稳定的；否则若f'(x*)?1，

则平衡点x*是不稳定的

1、我们建立的“商人怎样安全过河”模型是（a ）。

A.允许决策模型

B.状态转移模型

C.马氏链模型

D.多步决策模型

2、“人口指数增长”模型的计算结果表明了（ c ）。

A.人口增长率为常数 B.人口增长率逐步变大 C.人口将按指数规律无限增长 D.人口将达到最大容量

3、我们所建立的“人口阻滞增长”模型是根据微分方程（d ）建立的。

A.

x(t)?x0ert

dx?rxB.dt

r(x)?r(1?

C.

x)xm D.

dxx?rx(1?)dtxm

4、“公平合理的席位分配”模型中，以下说法错误的（ d）。

A.参照惯例的席位分配结果是较合理的 C. 席位分配一类问题的Q值法是较公平的

B.提出的相对不公平程度对席位分配有改进效果 D.存在满足四个公平分配公理的分配方法

5、“录像机计数器的用途”模型中，计数器的读数（c ）。

A.是均匀增长的

B.与录像带的线速度v成正比 C.的增长速度越来越慢 D.与经过的时间成正比

6、“双层玻璃的功效”模型中，按建筑规范实施的双层玻璃可节能（ b ）。

A. 3 %

B. 97 %

C. 93 %

D. 7 %

7、存贮模型的优化目标是（d ）。

A、库存量最小

B、库存量最大

C、一周期的费用最小

D、平均每天费用最小

8、“经济增长模型”中，要保持总产值

Q(t)增长，即要求（ c ）

。

dQ?0 A、dt

dQ?0B、dt

dQ?0C、dt

Q?0D、L

9、“经济增长模型”中，要保持平均每个劳动力的产值

z(t)增长，即要求（a ）

。

A、劳动力的增长率小于初始投资增长率 B、劳动力的增长率等于初始投资增长率 C、劳动力的增长率大于初始投资增长率 D、劳动力的增长率不等于初始投资增长率

10、“层次分析模型”中成比对矩阵

A?(aij)如果满足如下（ d ）式，则称为一致阵。

A、

aij?0 B、

1aij?aji C、

?ai?1nij?1

D、

aij?ajk?aik

ks?s?(?1)dk。 k?1k1、“商人怎样安全过河”模型中状态随决策变化的规律是

pi2Qi?ni(ni?1)。

2、“公平的席位分配”模型中的Q值法计算公式是

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c1c2rT?C(T)?T23、“存贮模型”的平均每天的存贮费用计算公式为

4、LINGO中，表示决策变量x是0-1变量的语句是 @gin(x) 。 5、一阶自治微分方程

，当T?2c1c2r时，

C(T)最小。

x?f(x)的平衡点是指满足 f(x)?0 的点，若 f'(x)?0 成立，则其平衡点是稳定的。

Kf <

6、市场经济中的蛛网模型中，只有当

Kg时，平衡点

P0 才是稳定的。

7、“传染病模型”中SIS模型是指被传染者康复以后，还有可能再次感染该传染病。 8、传送系统的效率模型中，独立地考虑每个钩子被触到的概率为钩子的概率为

knkCnpk(1?p)? 。

p，则共有n个钩子的系统中，一周期内被触到k个

1、请用简练的语言全面的描述数学建模的过程和数学模型的特点。(10’)

答：（1）建模过程：模型准备→模型假设→模型构成→模型求解→模型检验→模型应用。

（2）数学模型的特点：逼真性和可行性；渐进性；强健性；可转移性；非预制性；条理性；技艺性；局限性； 2、某家具厂生产桌子和椅子两种家具，桌子售价50元/个，椅子销售价格30元/个，生产桌子和椅子要求需要木工和油

漆工两种工种。生产一个桌子需要木工4小时，油漆工2小时。生产一个椅子需要木工3小时，油漆工1小时。该厂每个月可用木工工时为120小时，油漆工工时为50小时。问该厂如何组织生产才能使每月的销售收入最大？（建立模型不计算）

解：（1）确定决策变量：x1=生产桌子的数量 x2=生产椅子的数量 （2）确定目标函数：家具厂的目标是销售收入最大 max z=50x1+30x2

（3）确定约束条件： 4x1+3x2<120（木工工时限制） 2x1+x2>50（油漆工工时限制） （4）建立的数学模型为： max S=50x1+30x2 s.t. 4x1+3x2<120 2x1+ x2>50 x1, x2 >0

3、有四个工人，要分别指派他们完成四项不同的工作，每人做各项工作所消耗的时间如下表所示，问应如何指派工作，

才能使总的消耗时间为最少？（建立模型不计算）(10’)

?0,指派第i人完成第j项工作xij???1,不指折派第i项工作解：令

minZ?15x11?18x12?21x3?24x14?19x21?23x22?18x24?目标函数：

26x31?17x32?16x33?19x34?19x41?21x4217x44

约束条件：

???st..????x11?x21?x31?x41?1x12?x22?x32?x42?1x13?x23?x33?x43?1x14?x24?x34?x44?1

4、结合自身的实际情况，谈谈数学建模的方法和自身能力的培训。(10’) 答：（1）方法：机理分析、测试分析、实例研究 … ； （2）能力：想象力、洞察力 … 。

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