人教A版高中数学选修4-4同步练习-参数方程的概念、参数方程与普通方程的互化

π122

解：(1)令y＝0，则2tsin －gt＝0，解之得t＝. g622

所以炮弹从发射到落地所需要的时间为.

gπ1212

(2)y＝2tsin －gt＝－gt＋t

6221?22?

＝－g?t－gt?

2??1??1?21?＝－g??t－?－2?

2??g?g?1?1?21＝－g?t－g?＋，

2?2g?

11所以当t＝时，y取最大值.

g2g即炮弹在运动中达到的最大高度为

2

1

. 2g

y2

10．过M(0，1)作椭圆x＋＝1的弦，试求弦中点的轨迹的参

4数方程．

解：设过M(0，1)的弦所在的直线方程为y＝kx＋1，其与椭圆的交点为(x1，y1)和(x2，y2)，设中点P(x，y)则有：

x1＋x2y1＋y2x＝，y＝.

22

?y＝kx＋1，由?2y2得：(k2＋4)y2－8y＋4－4k2＝0， ?x＋4＝1

－2k8

所以y1＋y2＝2，x1＋x2＝2.

k＋4k＋4

5

?所以?4

?y＝k＋4

2

k

x＝－2，k＋4

(k为参数)，

这就是以动弦斜率k为参数的动弦中点的轨迹的参数方程．

B级 能力提升

1．当参数θ变化时，由点P(2cos θ，3sin θ)所确定的曲线过点( )

A．(2，3)

?π?C.?0，2? ?

?

B．(1，5) D．(2，0)

x2y2

解析：先将P(2cos θ，3sin θ)化为方程为＋＝1，再将选项代

49进去，可得到的是(2，0)．

答案：D

2．动点M作匀速直线运动，它在x轴和y轴方向的分速度分别为9和12，运动开始时，点M位于A(1，1)，则点M的参数方程为________．

解析：设M(x，y)，则在x轴上的位移为x＝1＋9t，在y轴上的位移为y＝1＋12t.

??x＝1＋9t，

所以参数方程为：?

?y＝1＋12t.???x＝1＋9t，

答案：?(t为参数)

?y＝1＋12t?

3?x＝?5t，

3．在直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为?(t

4

??y＝1＋5t为参数)．以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极

6

坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2sin θ.

(1)求曲线C的直角坐标方程；

(2)若P(x，y)在直线l上，且在曲线C内，求x－y的取值范围； (3)若Q(x，y)在曲线C上，求Q到直线l的最大距离dmax. 解：(1)因为ρ＝2sin θ， 所以ρ2＝2ρsin θ， 所以x2＋y2＝2y， 即x2＋(y－1)2＝1，

所以曲线C的直角坐标方程为x2＋(y－1)2＝1. 3?4?1

(2)因为x－y＝t－?1＋5t?＝－t－1，

5?5?又－1＜t＜1. 111

所以－＜－t＜，

555614

所以－＜－t－1＜－，

555

?64?

?即x－y的取值范围是－5，－5?. ??

??x＝cos θ，

(3)曲线C的参数方程为?(θ为参数)，

?y＝1＋sin θ?

直线l的普通方程为4x－3y＋3＝0，

|4cos θ－3sin θ|4

d＝＝|sin(θ－φ)|，tan φ＝，

53所以dmax＝1.

7