解析几何第四版吕林根课后习题答案第一章

第一章 矢量与坐标

§1.1 矢量的概念

1.下列情形中的矢量终点各构成什么图形？

（1）把空间中一切单位矢量归结到共同的始点；

（2）把平行于某一平面的一切单位矢量归结到共同的始点； （3）把平行于某一直线的一切矢量归结到共同的始点；

（4）把平行于某一直线的一切单位矢量归结到共同的始点. [解]：（1）单位球面； （2）单位圆

（3）直线； （4）相距为2的两点

A F 2. 设点O是正六边形ABCDEF的中心，

在矢量OA、OB、 OC、OD、OE、

OF、AB、BC、CD、 DE、EF B O E 和FA中，哪些矢量是相等的？

[解]：如图1-1，在正六边形ABCDEF中，

相等的矢量对是： C 图 1-1

OA和EF；OB和FA；OC和AB；OE和CD；OF和DE.

3. 设在平面上给了一个四边形ABCD，点K、L、M、N分别是边ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ、

ＤＡ的中点，求证：KL＝NM. 当ABCD是空间四边形时，这等式是否也成立？

[证明]：如图1-2，连结AC, 则在?BAC中， KL中，NM1AC. KL与AC方向相同；在?DAC21AC. NM与AC方向相同，从而2KL＝NM且KL与NM方向相同，所以KL＝

NM.

4. 如图1-3，设ABCD-EFGH是一个平行六面体，在下列各对矢量中，找出相等的矢量和互为相反矢量的矢量：

CD; (2) AE、CG; (3) AC、(1) AB、

EG;

(4) AD、GF; (5) BE、CH.

[解]：相等的矢量对是（2）、（3）和（5）； 互为反矢量的矢量对是（1）和（4）。

§1.2 矢量的加法

1.要使下列各式成立，矢量a,b应满足什么条件？ （1）a?b?a?b; （2）a?b?a?b; （3）a?b?a?b; （4）a?b?a?b;

图1—3 （5）a?b?a?b.

[解]：（1）a,b所在的直线垂直时有a?b?a?b；

（2）a,b同向时有a?b?a?b;

（3）a?b,且a,b反向时有a?b?a?b; （4）a,b反向时有a?b?a?b;

（5）a,b同向，且a?b时有a?b?a?b.

§1.3 数量乘矢量

1 试解下列各题．

⑴ 化简(x?y)?(a?b)?(x?y)?(a?b)．

⑵ 已知a?e1?2e2?e3，b?3e1?2e2?2e3，求a?b，a?b和3a?2b．

???????3x?4y?a⑶ 从矢量方程组????，解出矢量x，y．

??2x?3y?b??????????????????解 ⑴

(x?y)?(a?b)?(x?y)?(a?b)?xa?xb?ya?yb?xa?xb?ya?yb?2xb?2ya⑵ a?b?e1?2e2?e3?3e1?2e2?2e3?4e1?e3，

a?b?e1?2e2?e3?(3e1?2e2?2e3)??2e1?4e2?3e3， 3a?2b?3(e1?2e2?e3)?2(3e1?2e2?2e3)??3e1?10e2?7e3． 2 已知四边形ABCD中，AB?a?2c，CD?5a?6b?8c，对角线AC、BD的中点分别为E、F，求EF．

???1?1?1???1?? 解 EF?CD?AB?(5a?6b?8c)?(a?2c)?3a?3b?5c．

2222????????????????????????????????????????????????????????? 3 设AB?a?5b，BC??2a?8b，CD?3(a?b)，证明：A、B、D三点共线． 证明 ∵BD?BC?CD??2a?8b?3(a?b)?a?5b?AB

∴AB与BD共线，又∵B为公共点，从而A、B、D三点共线．

4 在四边形ABCD中，AB?a?2b，BC??4a?b，CD??5a?3b，证明ABCD为梯形．

?????????????????????????????? 证明∵AD?AB?BC?CD?(a?2b)?(?4a?b)?(5a?3b)?2(?4a?b)?2BC ∴AD∥BC，∴ABCD为梯形．

6. 设L、M、N分别是ΔABC的三边BC、CA、AB的中点，证明：三中线矢量AL, BM,

?

??????????????CN可 以构成一个三角形.

[证明]： ?AL?12(AB?AC) BM?12(BA?BC)

CN?12(CA?CB)

?AL?BM?CN?12(AB?AC?BA?BC?CA?CB)?0

从而三中线矢量AL,BM,CN构成一个三角形。

7. 设L、M、N是△ABC的三边的中点，O是任意一点，证明 OA?OB+OC=OL+OM+ON.

[证明] ?OA?OL?LA OB?OM?MB OC?ON?NC

?OA?OB?OC?OL?OM?ON?(LA?MB?NC) =OL?OM?ON?(AL?BM?CN) 由上题结论知：AL?BM?CN?0

?OA?OB?OC?OL?OM?ON

8. 如图1-5，设M是平行四边形ABCD的中心，O是任意一点，证明

OA+OB+OC+OD＝4OM.

[证明]：因为OM＝

12(OA+OC), OM＝12(OB+OD), 所以 2OM＝12(OA+OB+OC+OD) 所以

OA+OB+OC+OD＝4OM. 图1-5

9 在平行六面体ABCDEFGH（参看第一节第4题图）中，AC??AF??AH??2AG?．

??????? 证明 AC?AF?AH?AC?AF?AD?DH?AC??AF??FG??CG??2AG?．

证明

10. 用矢量法证明梯形两腰中点连续平行于上、下两底边且等于它们长度和的一半． 证明 已知梯形ABCD，两腰中点分别为M、N，连接AN、BN． MN?MA?AN?MA?AD?DN，

MN?MB?BN?MB?BC?CN，∴ MN?AD?BC，即

???1?1? MN?(AD?BC) ，故MN平行且等于(AD?BC)．

22????????????????

11. 用矢量法证明，平行四边行的对角线互相平分.

[证明]：如图1-4，在平行四边形ABCD中，O是对角线AC，BD的交点

?AD?OD?OABC?OC?OB但 AD?BC

图1-4 ?OD?OA?OC?OBOA?OC?OD?OB由于(OA?OC)∥AC,(OB?OD)∥BD,而AC不平行于BD，

?OA?OC?OD?OB?0，

从而OA=OC，OB=OD。

12. 设点O是平面上正多边形A1A2…An的中心，证明: [证明]：因为

?OA1+OA2+…+OAn＝0.

OA1＋OA3＝?OA2, OA2＋OA4＝?OA3, ……

OAn?1+OA1＝?OAn,

OAn＋OA2＝?OA1,

所以 2(OA1+OA2+…+OAn)

＝?(OA1+OA2+…+OAn),

?所以 (?－2)(OA1+OA2+…+OAn)＝0. 显然 ?≠2, 即 ?－2≠0.

?所以 OA1+OA2+…+OAn＝0.

13．在12题的条件下，设P是任意点，证明：PA1?PA2???PAn?nPO 证明：?OA1?OA2???OAn?0

?PA1?PO?PA2?PO???PAn?PO?0

??????