静电场中的电介质与导体

第二篇 电 磁 学

第一章 静电场和电介质

1-1 两个电量都是+q的点电荷，相距2a，连线的中点为o，今在它们连线的垂直平分线上放另一点电荷q'，q'与o点相距r。 （1）求q'所受的力；

（2）q'放在哪一点时，所受的力最大？

（3）若q'在所放的

位置上从静止释放，任其自己运动，问q'将如何运动？试分别讨论q'与q同号或异号两种情况。

解：（1）取正交系XOY，原点取在连线的中点O处，见图。设q'所受两点电荷q的作用力

??F分别为1和F2

??qq'F1?(icos??jsin?),4??0(a2?y2)??qq'F2?(?icos??jsin?).224??(a?y)0 ? ?

i,j分别为沿x轴和y轴的单位矢量，由对称性可知q'所受到的合力为沿y轴的方向。

???F?F1?F2?qq'sin?qq'sin??[?]j4??0(a2?y2)4??0(a2?y2)?qq'sin??j.222??0(a?y) ??当q与q'同号时，F沿y轴的正方向；当q与q'异号时，F沿y轴的负方向，

?? （2）F的最大值应满足F对y的一阶导数为零，即

dFqq'(a2?y2)?3y2???0,5dy2??0(a2?y2)2 ?(a?r)?3r?0.所以当

222

r??

时，q'所受的力在数值上为最大。q'所受作用力为：

a2

F?qq'y2??0(a2?y2)32. F(y)随y变化如图1-1（b）所示。

（3) 当q与q'同号时，q'在所放的位置上从静止释放后，便沿着y轴加速远离q，直至无穷远处，当q与q异号时，q'从静止释放后，因受力始终指向原点o，因此便以中点o为平衡位置，在y轴上作振动。

F?

qq'y2??0(a?y)2232qq'yy2?2?(1?2)32??0aa3

qq'y3y2?(1???).2a22??0a3

qq'yy2F?.322??0a 当y<

当q与q'异号时，F=-ky，由此可见，当y<

y轴上作谐振动。

1-2如附图，一半径为R的均匀带电圆环，电荷总量为q0，（1）求轴线上离环中心O为 x处的场强E；（2）轴线上什么地方的场强最大？其值是多少？

解：（1）取圆环中心O为为坐标轴oxy的原点，圆轴线为x轴，圆环位于oxy平面内。如图

所示，在圆环上任取电荷元dq=λdl， 它在p点产生的场强为

dE?

由于场强对x轴对称，故各电荷元的y分量相互抵消，只有x方向的分量相迭加，所以

dq?dl?.2224??0r4??0(R?x)

E??dEx??dEcos???

x?dl4??0(R?x)

qx.32232???E??EE （2）令

x?2?R4??0(R2?x2)qx4??0(R?x)x?02232?324??0(R2?x2)2?i.?0?qxR224??0x(1?2)x33x??R?q.24??0x

?dE?0dx，则可找出与Emax对应的值

?dEd?[dxdxqx4??0(R2?x2)q232]?0,2R.2

63??0R

1-3半径为R的圆面上均匀带电，电荷的面密度为σe。 （1）求轴线上离圆心的坐标为x处的场强； （2）当x<

（3）当x>>R时，

结果如何？

解：（1）将均匀带电的圆面分割成无限多个宽度为dr的圆环带如图所示，环带的面积为

ds?2?rdr

所带的电荷为dq??ds，在轴线上离圆心的坐标为x处的场强为

?Emax?,x??dE?xdq2232,4??0(r?x)

方向沿x方向。整个带电圆盘在p点产生的总场强：

E??dE??R2??xrdr4??0(r?x)R23220??x(?2?01(r2?x)x122)0?(R2?x)???x?E?[1?]i.12?0(R2?x2)2

?E?2?0，这相当于“无限大”均匀带电平面的场强。可见物理 （2）当x<

上的“无限大”是相对的。

（3）当x>>R时，按二项式定理展开下式

?[1?2?0122].x (R?x)2122R2?2?[1?()]x

11R3R?1?()2?()4??2x8xR2?1?2,2x 2?R?E?[1?1?2]2?02x?

Q4??0x.2(Q???R2)

这时带电圆面相当于一个点电荷，说明点电荷的概念也是相对的。 1-4一无限大平面，开有一个半径为R的圆洞，设平面均匀带电，电荷面密度为σ。求这洞的轴线上离洞心为r处的场强。 解：设无限

大带电平板的电荷面密度为σ，如图6所示。取轴线方向为ox，在离圆洞中心距离为ρ（ρ>R）处取一半径为ρ→ρ+dρ的窄圆环。它所带电量为dq??2??d?,由均匀带电圆环轴线上任一给定点处的场强度可知：

dEp?rdq2232,4??0(??r)（方向沿x轴正方向）

开有空洞的无限大带电板可以看作无数带电圆环的迭加，p点产生的电场强度方向都相同，故p点场强

Ep??dEp???2??r?d?4??0(?2?r2)32R.

1-5氢原子由一个质子（即氢原子核）和一个电子组成。根据经典模型，在正常状态下，电子绕

?27?11M?1.67?10kg，电子质量5.29?10m核作圆周运动，轨道半径是。已知质子质量为

为m?9.11?10kg，电荷分别为?e??1.60?10?19C，万有引力常数

22G?6.67?10?11Nm/kg。（1）求电子所受的库仑力；（2）库仑力是万有引力的多少倍？

?31（3）求电子的速度。

解：（1）电子所受的库仑力为

F1?q1q24??0r28.99?109?1.60?10?19?1.60?10?19?(5.29?10?11)2

（2）电子与质子之间的万有引力

?8.22?10?8(N).

m1m2,r2Fkq1q2?1?F2Gm1m2F2?G

（3）电子的速度

8.99?109?1.60?10?19?1.60?10?19?6.67?10?11?1.67?10?27?9.11?10?31 ?2.26?1039(倍).

mv2F1?,r

F1r8.22?10?8?5.29?10?11?v??m9.11?10?31

6?2.19?10(m/s).

1-6设一均匀带电圆盘，面电荷密度为

?52 ??4.0?10C/m，