离散傅里叶变换DFT

————第三章———— 离散傅里叶变换DFT 3.1 学 习 要 点 3.1.1 DFT的定义、DFT与Z变换(ZT)、傅里叶变换(FT)的关系及DFT的物理意义 1. DFT的定义 设序列x?n?为有限长序列，长度为M,则定义x?n?的N?n?M?点离散傅立叶变换为 X?k??DFT?x?n????x?n?Wn?0N?1knN, k?0,1,?,N?1 (3.1) X?k?的N点离散傅立叶逆变换为 1 x?n??IDFT?X?k???N其中，WN?e?j2?N?X?k?Wk?0N?1?knN, n?0,1,?,N?1 (3.2) ，N成为DFT变换区间长度。 由定义可见，DFT使有限长时域离散序列与有限长频域离散序列建立对应关系。 2. DFT与ZT、FT的关系 设 Xej??FT?x?n??, X?z??ZT?x?n??, X?k??DFT?x?n??N点 则 X?k??Xe????j???2?kN， k?0,1,?,N?1 (3.3) X?k??X?z?z?ej2?kN, k?0,1,?,N?1 (3.4) 即序列x?n?的N点DFT的物理意义使对x?n?的频谱Xe样，采样间隔为2?N。即对序列频谱的离散化。 ??在?0,2??上的N点等间隔采j?根据上述基本内容，我们可以看出，对同一序列x?n?: （1）DFT变换区间长度N不同，变换结果X?k?不同。当N确定后，X?k?与x?n?是一一对应的。 j?（2）当N足够大时，X?k?的包络可逼近Xe曲线。这一概念在用DFT进行谱分??析使很重要。 （3）X?k?表示?k??2?N?k频点的幅度谱线。如果x?n?是一模拟信号的采样，采样间隔为T，???T?2?fT，则k与相对应的模拟频率fk的关系为 ?k???2??N??k?2?fkT ?即 fk?k (3.5) NT1即对于模拟频率而言，N点DFT意味着频域采样间隔为Hz。所以用DFT进行谱NT分析时，称F?1NT为频率分辨率。而NT表示时域采样的区间长度，显然为了提高频率分辨率，就必须使记录时间Tp足够大。 3.1.2 DFT的隐含周期性 DFT的隐含周期可以从三种不同的角度得出： （1）如前综述，X?k?是对Xej?的采样，由于Xej?是以2?为周期的周期函数，即X?k?是对Xe??????的主值区?0,2??上N点等间隔采样。显然，当自变量k超出DFT变换j?区间时，必然得到?0,2??之外区间上Xej?的采样，且以N为周期重复出现，得到??X?k??X??k??N。 kn?k?mN?nkn（2）由WN的周期性WN，可以证明X?k?的隐含周期性。 ?WNN?1n?0N?1n?0?X?k?mN???x?n?WN即X?k?隐含周期性，周期为N。 ?k?mN?nkn??x?n?WN?X?k? （3）由X?k?与x?n?的周期延拓x??n??N的DFS系数X?k?的关系也可以得出DFT的隐含周期性。 设x?n?的周期延拓序列x?n??x??n??N，则xN?n?的DFS系数为 ~~~X?k???xN?n?en?0~N?1~?j2?knNkn ??x?n?WNn?0N?1显然，当k?0,1,?,N?1时， X?k??X?k??DFT?x?n?? 即 X?k??X?k??RN?k? (3.6) 由于X?k?是以N为周期的，所以有 X?k??X??k??N (3.7) 由此得出结论，有限N长序列x?n?的N点离散傅里叶变换X?k?也可以定义为x?n?的周期延拓序列x??n??N的离散傅里叶级数系数X?k?的主值序列，即(3.6)式。显然当k的取值域不加限制时，X?k?的取值将是以N为周期的，这就是X?k?的隐含周期性。 另外，X?k?表示xN?n?的频谱特性，所以取主值序列x?n??xN?n?RN?n?和~~~~~~~~X?k??X?k??RN?k?作为一对变换是合理的。这里得出X?k?的一种物理解释：实质上，~X?k??DFT?x?n??表示周期序列x??n??N的频谱特性。 3.1.3 DFT的主要性质 DFT的定义给出了一个有限长时域序列x?n?的N点DFT的数字运算定义公式，并给出了DFT的物理概念，这对于理解与应用DFT是必不可少的。但利用DFT的一些基本性质解决一些问题将更方便，更明了。 学习DFT的性质时，应与傅里叶变换的性质对照学习，要搞清两者的主要区别。我们知道，傅里叶变换将整个时域作为变换区间，所以在其性质中，对称性以原点为对称点，序列的移动范围无任何限制。 然而，DFT是对有限长序列定义的一种变换，也就是说，DFT变换区间为0?n?N?1。这一点与傅立叶变换截然不同，由于n?0及n?N区间在DFT变换区间以外，所以讨论对称性时，不能再以原点作为对称点，而是以n?N2点作为对称点。为了区别于无限长共轭对称序列，用xep?n?和xop?n?分别表示有限长（或圆周）共轭对称序列和共轭反对称序列。其定义为 ? xep?n??xep?N?n?, 0?n?N?1 (3.9) ? xop?n???xop?N?n?, 0?n?N?1 (3.10) 如果x?n??xep?n??xop?n?，则 1x?n??x??N?n? (3.11) 21? xop?n??x?n??x?N?n? (3.12) 2 xep?n??????其中，x?n?为长度为N的序列，xep?n?和xop?n?分别称为x?n?的共轭对称分量和共轭反对称分量。 对应于傅立叶变换中的时移性质和线性卷积定理，DFT有循环移位性质和循环卷积定理。对一些简单的性质，以表格形式列出（表3.1），后面主要对DFT的共轭对称性进行归纳。 表3.1 DFT的基本性质 序号 1 序 列 离散傅里叶变换 备 注 x?n? y?n??ax1?n??bx2?n? X?k? Y?k??aX1?k??bX2?k? ?kmWNX?k? 2 X1?k??DFT?x1?n??X2?k??DFT?x2?n??时域循环移位性质 频域循环移位性质 3 4 x??n?m??N?RN?n? nmWNx?n? X??k?m??NRN?k? X1?k??X2?k? x1?n??x2?n?5 ??x1?m?x2??n?m??NRN?n?m?0N?1 X1?k??DFT?x1?n??X2?k??DFT?x2?n?? 6 7 x??n? x??N?n? X??N?k? X??k? 注：表中所有序列长度，DFT变换区间长度均为N。 对一般的N长序列x?n?，按如下两种对偶的时域和频域表示形式给出DFT的共轭对称的基本内容。 设 X?k??DFT?x?n??, k?0,1,?,N?1 （1）如果 x?n??xr?n??jxi?n?, xr?n??Re?x?n??, xi?n??Im?x?n?? 且 X?k??Xep?k??Xop?k? 则 Xep?k??DFT?xr?n?? (3.13(a)) Xop?k??DFT?jxi?n?? (3.13(b)) 其中，Xep?k??1X?k??X??N?k?，为X?k?的共轭对称分量； 21X?k??X??N?k?，为X?k?的共轭反对称分量。 Xop?k??2????（2）如果 x?n??xep?n??xop?n? 且 X?k??Re?X?k???jIm?X?k?? 则 Re?X?k???DFTxep?n? (3.13(c)) jIm?X?k???DFTxop?n? (3.13(d)) 以上四个公式(3.13(a),(b),(c),(d))给出DFT的共轭对称性的基本内容，对于一些特殊性质的信号，均可由上面四个公式得到其DFT的对称性，根据这些对称性，可提高信号处理的速度。 （3）实信号DFT的共轭对称性。只有掌握了前述基本对称性内容，则实信号DFT的对称性很容易得出。 ①如果x?n?为实序列，x?n?只有实部xr?n?，所以根据(3.13(a))可以知道，X?k?只有共轭对称分量，即 X?k??X??N?k? (3.13(e)) ②如果x?n?实偶对称，即 ????x?n??x?N?n? 则X?k?必须满足式(3.13(a))与(3.13(c)),故X?k?实偶对称,用数学式表示为 X?k??X?N?k? (3.13(f)) ③如果x?n?实奇对称,即 x?n???x?N?n? 则其X?k?必须满足式(3.13(a))与(3.13(d)), X?k?虚奇对称,表示为 X?k??X??N?k???X?N?k? (3.13(g)) 由以上结论可知，只要x?n?是实序列，则其离散傅里叶变换X?k?必然共轭对称。所以只要计算出X?k?的前一半N2个值，后一半的X?k?值可由对称性求得。