2018-2019学年福建省福州市九年级(上)期末数学试卷

圆径若能知，堪作算中第一．”其大意为：有一块圆形的田，中间有一块正方形水池，测量出除水池外圆内可耕地的面积恰好72平方步，从水池边到圆周，每边相距3步远．如果你能求出正方形的边长是x步，则列出的方程是 π（+3）﹣x＝72 ．

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【分析】直接利用圆的面积减去正方形面积进而得出答案．

【解答】解：设正方形的边长是x步，则列出的方程是：π（+3）﹣x＝72． 故答案为：π（+3）﹣x＝72．

【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，正确表示出圆的面积是解题关键．

16．（4分）如图，等边三角形ABC中，D是边BC上一点，过点C作AD的垂线段，垂足为点E，连接BE，若AB＝2，则BE的最小值是 ．

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【分析】取AC中点F，连接EF，BF，由等边三角形的性质可得AB＝BC＝AC＝2，AF＝CF＝1，BF⊥AC，由勾股定理可求BF的长，由三角形三边关系可求BE的最小值． 【解答】解：如图，取AC中点F，连接EF，BF，

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∵△ABC是等边三角形，点F是AC中点， ∴AB＝BC＝AC＝2，AF＝CF＝1，BF⊥AC ∴BF＝∵∠AEC＝90°

∴点E在以AC为直径的圆上， ∴EF＝AF＝1

在△BEF中，BE≥BF﹣EF＝

﹣1

﹣1

＝

∴当点E在BF上时，BE的最小值为故答案为：

﹣1

【点评】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，三角形三边关系，找到BE最小值时点E的位置是本题的关键．

三、解答题（本题共9小题，共86分，解答应写出问题说明，证明过程或清算步骤） 17．（8分）解方程：x+4x+2＝0． 【分析】配方法的一般步骤： （1）把常数项移到等号的右边； （2）把二次项的系数化为1；

（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 【解答】解：∵x+4x+2＝0 ∴x+4x＝﹣2 ∴x+4x+4＝﹣2+4 ∴（x+2）＝2 ∴x＝﹣2∴x1＝﹣2+

，x2＝﹣2﹣

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【点评】此题可以采用配方法，解题时注意配方法的解题步骤．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．

18．（8分）已知函数y＝mx+（2m+1）x+m（m为常数）的图象与x轴只有一个公共点，求m的值．

【分析】根据函数图象与x轴只有一个公共点，分两种情况：①函数是一次函数；②函数是二次函数，则方程mx+（2m+1）x+m＝0有两个相等的实数根，利用根的判别式即可求的m的值．

【解答】解：①当m＝0时，函数y＝x是一次函数，与x轴只有一个交点． ②当m≠0时，函数y＝mx+（2m+1）x+m是二次函数． ∵函数图象与x轴只有一个公共点，

∴关于x的方程mx+（2m+1）x+m＝0有两个相等的实数根， ∴△＝0，

又△＝（2m+1）﹣4m＝4m+4m﹣4m＝4m+1， ∴4m+1＝0，解得：m＝综上所述，当m＝0或

．

时，函数图象与x轴只有一个公共点．

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【点评】本题主要考查抛物线与x轴的交点，解决此类问题时，从两方面入手：一是此函数是一次函数；二是此函数是二次函数，此时即可令与y＝0，根据方程有两个相同的实数根，求的字母的值即可．

19．（8分）小明和小武两人玩猜想数字游戏，先有小武在中心任意想一个数记为x，再由小明猜小武刚才想的数字，把小明猜的数字记为y，且他们想和猜的数字只能在1，2，3，4这四个数字中．

（1）用列表法或画树状图法表示他们想和猜的所有情况．

（2）如果他们想和猜的数字相同，则称他们“心灵相通”，求他们心灵相通的概率． 【分析】（1）根据题意直接画出树状图即可；

（2）根据（1）得出所有可能出现等情况的结果数和他们心灵相通的结果数，然后利用概率公式即可求解；

【解答】解：（1）根据题意画图如下：

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（2）由（1）知，所有可能出现等情况的结果共有16种，且他们“心灵相通”的有4种， 所以他们“心灵相通”的概率是

＝．

【点评】此题主要考查了利用树状图求概率，解题的关键是会根据题意列出树状图或表格求出所以可能的结果和符合要求的情况，然后利用概率的定义即可解决问题． 20．（8分）如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA＝OB，CA＝CB．求证：直线AB是⊙O的切线．

【分析】连接OC，如图，由于OA＝OB，CA＝CB，根据等腰三角形的性质得到OC⊥AB，然后根据切线的判定定理得到结论． 【解答】证明：连接OC，如图， ∵OA＝OB，CA＝CB， ∴OC⊥AB，

∴直线AB是⊙O的切线．

【点评】本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了等腰三角形的性质．

21．（8分）如图，三角形ABC，将三角形ABC绕点A逆时针旋转120°，得到三角形ADE，其中点B与点D对应，点C与点E对应． （1）画出三角形ADE；

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