2018届高考数学二轮数学思想专练3专题卷(全国通用)

数学思想专练(三) 分类讨论思想

题组1 由概念、法则、公式引起的分类讨论

1．已知数列{an}的前n项和Sn＝Pn－1(P是常数)，则数列{an}是( )

A．等差数列 C．等差数列或等比数列 D [∵Sn＝Pn－1，

∴a1＝P－1，an＝Sn－Sn－1＝(P－1)Pn－1(n≥2)． 当P≠1且P≠0时，{an}是等比数列； 当P＝1时，{an}是等差数列；

当P＝0时，a1＝－1，an＝0(n≥2)，此时{an}既不是等差数列也不是等比数列．]

2．(2017·蚌埠模拟)已知函数f(x)＝log2(ax2＋2x＋3)，若对于任意实数k，总存在实数x0，使得f(x0)＝k成立，则实数a的取值范围是( )

【导学号：04024013】

1??

A.?－1，3? ??C．[3，＋∞)

1??

B.?0，3? ??D．(－1，＋∞) B．等比数列 D．以上都不对

B [∵对于任意实数k，总存在实数x0，使得f(x0)＝k成立，∴f(x)值域为R，因此要求y＝ax2＋2x＋3的函数值能取到一切正数．①a＝0时，y＝2x＋3?a＞0，1

符合题意．②a≠0时，需?2即0＜a≤3.综上，实数a的

?2－4×a×3≥0，1??

取值范围是?0，3?.]

??

3．已知函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)为f(x)的导函数，函数y＝f′(x)的图象如图1所示，且f(－2)＝1，f(3)＝1，则不等式f(x2－6)＞1的解集为( )

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图1

A．(－3，－2)∪(2,3) B．(－2，2) C．(2,3)

D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)

A [由导函数图象知，当x＜0时，f′(x)＞0， 即f(x)在(－∞，0)上为增函数，

当x＞0时，f′(x)＜0，即f(x)在(0，＋∞)上为减函数，

又不等式f(x2－6)＞1等价于f(x2－6)＞f(－2)或f(x2－6)＞f(3)，故－2＜x2－6≤0或0≤x2－6＜3，解得x∈(－3，－2)∪(2,3)．]

y2

4．已知实数m是2,8的等比中项，则曲线x－m＝1的离心率为( )

2

【导学号：04024014】

A.2 C.5

3B．2 3

D．5或2 D [由题意可知，m2＝2×8＝16，∴m＝±4. y2

(1)当m＝4时，曲线为双曲线x－4＝1.

2

此时离心率e＝5.

y2

(2)当m＝－4时，曲线为椭圆x＋4＝1.

2

3

此时离心率e＝2.] 15

5．在△ABC中，已知sin A＝2，cos B＝13，则cos C＝________.

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12－5352

[∵0＜cos B＝13＜2，且B为△ABC的一个内角， 2612

∴45°＜B＜90°，∴sin B＝13，

13若A为锐角，由sin A＝2，得A＝30°，此时cos A＝2， 1

若A为钝角，由sin A＝2，得A＝150°，此时A＋B＞180°， 这与三角形的内角和为180°相矛盾，∴A≠150°， ∴cos C＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B) ＝－(cos A·cos B－sin A·sin B) ?35112?12－53＝－?×－×?＝26.]

?213213?

6．若x＞0且x≠1，则函数y＝lg x＋logx10的值域为________.

【导学号：04024015】

1

(－∞，－2]∪[2，＋∞) [当x＞1时，y＝lg x＋lg x≥21lg x·lg x＝2，当

1

且仅当lg x＝1，即x＝10时等号成立；当0＜x＜1时，y＝lg x＋lg x＝－??1??

??－lg x?＋?－lg x??≤－2????1

x＝10时等号成立．

∴y∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)．] 题组2 由参数变化引起的分类讨论

7．已知集合A＝{x|1≤x＜5}，C＝{x|－a＜x≤a＋3}．若C∩A＝C，则a的取值范围为( ) ?3?A.?－2，－1? ??C．(－∞，－1]

C [因为C∩A＝C，所以C?A.

3①当C＝?时，满足C?A，此时－a≥a＋3，得a≤－2；

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11

?－lg x?·＝－2，当且仅当lg x＝lg x，即?－lg x?

3??

B.?－∞，－2? ???3?D.?－2，＋∞? ??

?－a＜a＋3，

②当C≠?时，要使C?A，则?－a≥1，

?a＋3＜5，

3

解得－2＜a≤－1.由①②得a≤－1.]

?x＋y≤1，

8．(2016·保定模拟)已知不等式组?x－y≥－1

?y≥0

，所表示的平面区域为D，若直

线y＝kx－3与平面区域D有公共点，则k的取值范围为( )

【导学号：04024016】

A．[－3,3]

1??1??

B.?－∞，－3?∪?3，＋∞? ????C．(－∞，－3]∪[3，＋∞) ?11?D.?－3，3? ??

C [满足不等式组的平面区域如图中阴影部分所示．∵y＝kx－3过定点(0，－3)，∴当y＝kx－3过点C(1,0)时，k＝3；当y＝kx－3过点B(－1,0)时，k＝－3.

∴k≤－3或k≥3时，直线y＝kx－3与平面区域D有公共点，故选C.] 9．已知函数f(x)＝(a＋1)ln x＋ax2＋1，试讨论函数f(x)的单调性．

[解] 由题意知f(x)的定义域为(0，＋∞)， a＋12ax2＋a＋1f′(x)＝x＋2ax＝．

x

1分 2分 4分

①当a≥0时，f′(x)>0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增．

②当a≤－1时，f′(x)<0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递减． 6分

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