2019届高考数学二轮复习第二篇通关攻略专题3数列专题能力提升练九2.3.2数列求和及综合应用

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1.(2018·遂宁一模)在数列{an}中,a2=8,a5=2,且2an+1-an+2=an(n∈N),则|a1|+|a2|+…+|a10|的值是

( )

B.10

C.50

*

*

A.210

*

D.90

【解析】选C.因为2an+1-an+2=an(n∈N),即2an+1=an+2+an(n∈N), 所以数列{an}是等差数列, 设公差为d,则a1+d=8,a1+4d=2, 联立解得a1=10,d=-2,

所以an=10-2(n-1)=12-2n.令an≥0,解得n≤6.

Sn==11n-n.

2

所以|a1|+|a2|+…+|a10|=a1+a2+…+a6-a7-…-a10=2S6-S10 =2(11×6-6)-(11×10-10)=50. 【加固训练】

2

2

(2018·内江一模)已知Sn是等差数列{an}的前n项和,a1=1,a8=3a3,则+

++…+=________.

【解析】由a1=1,a8=3a3,得a1+7d=3(a1+2d), 即1+7d=3+6d,得d=2,

==-,

则+++…+=-+-+…+-=-

=1-

=1-.

答案:1-

sin x+cos x(x∈R)的最大值,且满足

2.已知数列{an}的前n项和为Sn,若a1为函数f(x)=

an-anSn+1=-anSn,则数列{an}的前2 018项之积A2 018= ( )

A.1 B. C.-1 D.2

【解析】选A.函数f(x)=sin x+cos x

=2sin,

当x=2kπ+,k∈Z时,f(x)取得最大值2, 则a1=2.

由an-anSn+1=-anSn=1-anSn,

即为an=anSn+1-anSn+1,

即有an+1==1-,

an+2=1-=,

an+3=1-=an,

则数列{an}是周期为3的数列,

且a1=2,a2=,a3=-1, 则一个周期的乘积为-1, 由于2 018=3×672+2,

则数列{an}的前2 018项之积A2 018=1×2×=1.

3.已知无穷数列{an},a1=1,a2=2,对任意n∈N,有an+2=an,数列{bn}满足bn+1-bn=an(n∈N),若数

*

*

列中的任意一项都在该数列中重复出现无数次,则满足要求的b1的值为________.

*

【解析】a1=1,a2=2,对任意n∈N,有an+2=an, 所以a3=a1=1,a4=a2=2,a5=a3=a1=1,

所以an=

所以bn+1-bn=an=

所以b2n+2-b2n+1=a2n+1=1,b2n+1-b2n=a2n=2, 所以b2n+2-b2n=3,b2n+1-b2n-1=3, 所以b3-b1=b5-b3=…=b2n+1-b2n-1=3, b4-b2=b6-b4=b8-b6=…=b2n-b2n-2=3,b2-b1=1,

=b2,=,=b6,=,…,=b4n-2,=,

因为数列中的任意一项都在该数列中重复出现无数次,所以b2=b6=b10=…=b4n-2,

b4=b8=b12=…=b4n, 解得b8=b4=3,b2=3, 因为b2-b1=1,所以b1=2. 答案:2

4.(2018·菏泽一模) 已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且S6=-9,S8=4,若满足不等式n·Sn≤λ的正整数n有且仅有3个,则实数λ的取值范围为________. 【解析】不妨设Sn=An+Bn,

2

由S6=-9,S8=4,得

则所以nSn=n-

3

n,

2

令f(x)=x-2

3

x,

2

则f′(x)=3x-15x=3x(x-5), 易得数列{nSn}在n≤5时单调递减; 在n>5时单调递增.

令nSn=bn,有b3=-,b4=-56,b5=-,b6=-54,b7=-.

若满足题意的正整数n只有3个,则n只能为4,5,6,故实数λ的取值范围为

.

答案:

5.(2018·日照一模)已知等差数列{an}的公差d>0,其前n项和为Sn,且a2+a4=8, a3,a5,a8成等比数列.

(1)求数列{an}的通项公式.

(2)令bn=

【解析】(1)因为a2+a4=8, a1+2d=4 ①,

因为a3,a5,a8为等比数列,则

+n,求数列{bn}的前n项和Tn.

=a3a8,

即(a1+4d)=(a1+2d)(a1+7d),

2