（优辅资源）河北省鸡泽县第一中学高三上学期第一次月考数学（文）试题Word版含答案

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1

已知函数f(x)＝＋aln x(a≠0，a∈R)．

x(1)若a＝1，求函数f(x)的极值和单调区间；

(2)若在区间(0，e]上至少存在一点x0，使得f(x0)<0成立，求实数a的取值范围．

答案

一、选择题

1. B 2.A 3.C 4.A 5.A 6.C 7. A 8.C 9.B 10.D 11.A 12.A 二、填空题

13、2n－1

14、±3

5 15、30° 16、 ①④

三、解答题 17. (1)设等比数列{an}的公比为q(q>0)，

由题意，得???a1q5＝64，

??

a1q3＋a1q4＝6a1q2

，

解得???a1＝2，

??q＝2或q＝－3?舍?，

所以an＝2n.

(2)因为bnnn＝a＝2n－12

2n－1，

所以T12＋223＋325＋427＋…＋n

n＝22n－1，

14T＝123＋225＋327＋…＋n－1n

n22n－1＋22n＋1， 所以34T111222＋127＋…＋1nn＝＋3＋522n－1－22n＋1

11＝2?

?1－4n??n21－1－4＋3n22n＋1＝3－3×22n＋1，

4故T816＋12n84＋3n

n＝9－9×22n＋1＝9－9×22n－1. 18. (1)由余弦定理及题设，得 cosB＝a2＋c2－b22ac＝2ac2ac＝22.(2分)

又0<∠B<π，所以∠B＝π

4.(4分)

(2)由(1)知∠A＋∠C＝3π

4

，则

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3π

－A? 2cosA＋cosC＝2cosA＋cos??4?＝2cosA－＝

22

cosA＋sinA 22

22

cosA＋sinA 22

π

A－?.(9分) ＝cos??4?3π

因为0<∠A<，(10分)

4

π

所以当∠A＝4时，2cosA＋cosC取得最大值1.(12分)

19. (1)设等比数列{an}的公比为q，且q>0，

在等比数列{an}中，由an>0，a1a3＝4，得a2＝2，① (2分) 又a3＋1是a2和a4的等差中项，所以2(a3＋1)＝a2＋a4，② 把①代入②，得2(2q＋1)＝2＋2q2，解得q＝2或q＝0(舍去)，(4分) 所以an＝a2qn2＝2n1，

－

－

则bn＝log2an＋1＝log22n＝n. (6分) 1

(2)由(1)得，cn＝an＋1＋ b2n－1·b2n＋1

1111

＝2n＋＝2n＋?2n－1－2n＋1?，(8分)

2???2n－1??2n＋1?

11?11??1－1?2n所以数列{cn}的前n项和Sn＝2＋2＋…＋2＋[( 1－ )＋?－?＋…＋??23?35??2n－12n＋1?

n1?2?1－2?1?nn＋1

]＝＋?1－＝2－2＋.(12分) ?1－22?2n＋1?2n＋1

20. (1)f(x)＝m·n－

33333

＝－3sinxcosx＋3cos2x－＝－sin2x＋(1＋cos2x)－ 22222

5π33

2x＋?. ＝－sin2x＋cos2x＝3sin?6??22

5πππ

当2x＋＝2kπ＋，即x＝kπ－，k∈Z时，函数f(x)取得最大值3.

626π5π5π11π

0，?时，2x＋∈?，?. (2)由于x∈?6??2?6?6

5π3π?3π11π

，上单调递减，在区间?，?上单调递增． 而函数g(x)＝3sinx在区间?6??62??211π?3?3π??5π?＝3. 又g?＝－，g＝－3，g?6??2??6?22

3???π?所以方程f(x)＝a在区间0，2上有两个不同的实数根时，a∈?－3，－?.

??2??

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21. (1)设第n年获取利润为y万元．

n年付出的装修费构成一个首项为1，公差为2的等差数列，n年付出的装修费之和为n?n－1?n×1＋×2＝n2，又投资81万元，n年共收入租金30n万元，

2

∴利润y＝30n－n2－81(n∈N*)．

令y>0，即30n－n2－81>0，∴n2－30n＋81<0， 解得3

30n－?81＋n2?81?81

(2)方案①：年平均利润t＝＝30－－n＝30－??n＋n?≤30－2nn81

12(当且仅当＝n，即n＝9时取等号)，

n

∴年平均利润最大时，以46万元出售该工作室共获利润12×9＋46＝154(万元)． 方案②：纯利润总和y＝30n－n2－81＝－(n－15)2＋144(n∈N*)， 当n＝15时，纯利润总和最大，为144万元，

∴纯利润总和最大时，以10万元出售该工作室共获利润144＋10＝154(万元)， 两种方案盈利相同，但方案①时间比较短，所以选择方案①.

22. (1)当a＝1时，f′(x)＝－2＋＝81·n＝n

1x1x－1

.

xx2令f′(x)＝0，得x＝1， 又y＝f(x)的定义域为(0，＋∞)，

由f′(x)<0，得00，得x>1. 所以x＝1时，f(x)有极小值为1.

y＝f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增． 1aax－1

(2)f′(x)＝－2＋＝2，且a≠0.

xxx1

令f′(x)＝0，得x＝.

a

若在区间(0，e]上存在一点x0，使得f(x0)<0成立， 即y＝f(x)在区间(0，e]上的最小值小于0.

当a<0时，f′(x)<0对x∈(0，e]恒成立，即y＝f(x)在区间(0，e]上单调递减， 1111

故y＝f(x)在区间(0，e]上的最小值为f(e)＝＋aln e＝＋a，由＋a<0，得a<－，即a

eeee1

－∞，－?. ∈?e??

当a>0时，

11

①若e≤，即0

ae所以y＝f(x)在区间(0，e]上单调递减，

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11

则y＝f(x)在区间(0，e]上的最小值为f(e)＝＋aln e＝＋a>0，显然，y＝f(x)在区间(0，

eee]上的最小值小于0不成立．

11

②若0<，则有

aex f′(x) f(x) 1?1

所以f(x)在区间(0，e]上的最小值为f?＝a＋aln ， ?a?a1?1由f?＝a＋aln ＝a(1－ln a)<0，得 ?a?a1－ln a<0，解得a>e，即a∈(e，＋∞)． 1??综上可知，a∈－∞，－e∪(e，＋∞)．

?0，1? ?a?－ 1 a0 极小值 ?1，e? ?a?＋ ??

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