2020中考数学总复习 第二章 方程与不等式 2.2一元二次方程

2020中考数学总复习 第二章 方程与不等式

2.1 一元二次方程

课标解读

1. 理解配方法，会用配方法、公式法和因式分解法解数字系数的一元二次方程.

2. 会用一元二次方程根的判别式判别方程根的情况.了解一元二次方程根与系数的关系. 3. 会解决与一元二次方程有关的实际问题，并根据实际意义，检验解的合理性.

知识梳理

知识点一：一元二次方程

1. 一元二次方程的定义：只含一个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程.

22. 一元二次方程的一般形式：ax?bx?c?0(a?0)，其中ax是二次项，bx是一次项，

2c是常数项.

知识点二：一元二次方程的解法 1. 直接开平方法：

关于x的方程ax?b(a?0)，当

2b?0时，两根分别为x1?abb，x2??； aa当

b?0时，原方程没有实数根. a22. 配方法：

用配方法解方程ax?bx?c?0(a?0)的过程： ①化二次项系数为1：x?2bcx??0 aa ②移项：x?2bcx?? aabb2b2?4acb2b2?4ac?)? ③配方：x?x?，即(x?

a4a24a22a4a22b2?4acb?? ④当b?4ac?0时，x?，

2a2a2?b?b2?4ac?b?b2?4ac于是x1?，x2?；

2a2a 当b?4ac?0时，原方程无解. 3. 公式法：

22对于方程ax?bx?c?0(a?0)，如果b?4ac?0，那么方程的求根公式为：

2?b?b2?4acx?.

2a4. 因式分解法：

把一元二次方程化成一般形式后，如果b?4ac是某一有理数的平方，那么，一元二次方程ax?bx?c?0可变形为a(x?x1)(x?x2)?0的形式，从而将一元二次方程转化为两个一元一次方程，进而得到原方程的两个实数根.

知识点三：一元二次方程根的判别式及根与系数的关系

21. 关于x的一元二次方程ax?bx?c?0(a?0)，称??b?4ac为一元二次方程的根的

222判别式，当??b?4ac?0时，方程有两个不相等的实数根；当??b?4ac?0时， 方程有两个相等的实数根；当??b?4ac?0时，方程没有实数根. 2. 一元二次方程的根与系数的关系：

若关于x的一元二次方程ax?bx?c?0(a?0)有两个实数根x1，x2， 则x1?x2??2222bc,x1x2?. aa知识点四：一元二次方程的应用

解与一元二次方程有关的应用题的主要步骤为“审——设——列——解——验——答”， 在传播、增长（降低）率、商品销售、几何图形的面积等实际应用问题中经常涉及.因为所列一元二次方程往往有两个实数根，所以，必须检验所得结果是否完全符合题意. 基础训练

1. 下列所给出的方程中，属于一元二次方程的是（ D ） A. x?1?2 B.x?x C.x?1 D.(x?1)(x?1)?2x(x?1) x22. 一元二次方程x?2x?2?0的根的情况是（ D ） A. 有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 B. 有且只有一个实数根 D.没有实数根

3. 若m，n是方程x?4x?4?0的两根，则

211?的值是（ B ） mnA.1 B.-1 C.4 D.-4

1m?0没有实数根，则m的取值范围为（ C ） 21111A. m? B.m? C.m? D.m?

22224. 若关于x的方程x?x?225. 方程x?x?1?0的两根为x1?1?51?5，x2?. 226. 若关于x的方程mx?2m?1?x?1?0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是

2?11?m?，且m?0 227. 用适当的方法解下列一元二次方程： （1） x?x?2?0

解：???(?1)?4?1?2??7?0,

22?原方程没有实数根.

（2） x?6x??7

解：x?6x?9?2，即(x?3)?2, ?x?3??2 由x?3?2222得x1?3?2；由x?3??2得x2?3?2.

2（3） 3x(2x?1)?(2x?1)?0 解：(2x?1)(x?1)?0 ?2x?1?0或x?1?0， ?x1??，x2?1.

8. 某社区老年人活动中心有一批中国象棋爱好者自发组织了一次中国象棋单循环赛（每两个人之间都要比赛1局，且只比赛1局），结果共比赛66局. （1）求参加象棋比赛的人数； （2）参加比赛的王爷爷说：“如果我组织我的几个好友举行单循环赛，那么总共只需赛19局”.王爷爷说的话是真的吗？

解：（1）设有m人参加象棋比赛，依题意可列方程：解这个方程：m?m?132?0 分解因式：(m?12)(m?11)?0，

2121m(m?1)?66， 2（不合题意，舍去）, 解得m1?12，m2??11故有12人参加象棋比赛.

（3）王爷爷说的话不正确，理由如下： 设王爷爷有n个好友参赛，则

?1?3171. n(n?1)?19，解此方程：n?22n? 经检验，

?1?317是所列方程的根，但都不是正整数. 故王爷爷说的不真实. 2能力提升

1.对于方程2x?3x?1?0，下列变形错误的是（ B ） A.(2x?1)(x?1)?0 B.（2x?)?23421 163?(?3)2?4?2?131C.x? D.（x?)2?

41642.关于x的方程mx?x?m?0，下列说法正确的是（ D ） A.该方程一定有两个不相等的实数根

B.该方程可能有两个相等的实数根 C.该方程没有实数根

D.该方程至少有一个实数根

3.若关于x的方程x?2mx?3m?0有一根为2，则此方程的另一根为（ A ） A.6 B.4 C.2 D.-6

4.若关于x的方程x?mx?60?0的两根p，q满足p?q?7，则代数式P2?q2的值是（ B ）

A.17 B.13 C.12 D.5

5. 某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个，若该厂八、九月份平均每月的增长率为x，则x应满足的方程是50?50(1?x)?50(1?x)?196. 6.若直角三角形的斜边长比两直角边长分别多中线长为 cm .

222224cm和cm，则这个直角三角形斜边上的33537.已知关于x的一元二次方程x?3(k?1)x?2(k?1)?0. （1）求证：无论k为何值，原方程都有两个实数根；

（2）若该方程的两个实数根x1，x2为一菱形的两对角线之长，且x1x2?2x1?2x2?36，求k值及该菱形的面积.

22解：（1）证明：?????3(k?1)??4?1?2(k?1)?(k?1)，

222无论k为何值，都有(k?1)?0，?原方程总有两个实数根. （2）依题意，知x1?x2?3(k?1)，x1x2?2(k?1).

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