根系关系，二次函数

一元二次方程根与系数的关系在二次函数综合题中的运用

1已知抛物线y1=ax?bx?c(a?0,a?c)过点A(1,0)，顶点为B，且抛物线不经过第三象限。 （1）使用a、c表示b;

（2）判断点B所在象限，并说明理由；

（3）若直线y2=2x+m经过点B，且于该抛物线交于另一点C(值范围。

2c,b?8),求当x≥1时y1的取a

2如图，抛物线y=ax+c（a≠0）经过C（2，0），D（0，﹣1）两点，并与直线y=kx交于A、B两点，直线l过点E（0，﹣2）且平行于x轴，过A、B两点分别作直线l的垂线，垂足分别为点M、N．

（1）求此抛物线的解析式； （2）求证：AO=AM； （3）探究：

①当k=0时，直线y=kx与x轴重合，求出此时②试说明无论k取何值，

的值；

2

的值都等于同一个常数．

3已知关于x的二次函数y=x﹣2mx+m+m的图象与关于x的函数y=kx+1的图象交于两点A（x1，y1）、B（x2，y2）；（x1＜x2） （1）当k=1，m=0，1时，求AB的长；

（2）当k=1，m为任何值时，猜想AB的长是否不变？并证明你的猜想． （3）当m=0，无论k为何值时，猜想△AOB的形状．证明你的猜想． （平面内两点间的距离公式

）．

22

C两点，4如图所示，已知直线y?kx?m与x轴、抛物线y??x?bx?cy轴分别交于A、

经过A、C两点，点B是抛物线与x轴的另一个交点，当x??2125时，y取最大值. 24（1）求抛物线和直线的解析式；

（2）设点P是直线AC上一点，且S?ABP ：S?BPC ?1:3，求点P的坐标； （3）若直线y?1x?a与（1）中所求的抛物线交于M、N两点，问: 2①是否存在a的值，使得?MON?900？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由；

②猜想当?MON?900时，a的取值范围（不写过程，直接写结论）. （参考公式：在平面直角坐标系中，若M(x1,y1)，N(x2,y2)，则M，N两点间的距离为MN?(x2?x1)2?(y2?y1)2）

1解析：（1）∵抛物线y1=ax+bx+c（a≠0，a≠c），经过A（1，0）， 把点代入函数即可得到：b=﹣a﹣c； （2）B在第四象限．

2

理由如下：∵抛物线y1=ax+bx+c（a≠0，a≠c）过点A（1，0）， ∴

，

2

所以抛物线与x轴有两个交点， 又因为抛物线不经过第三象限，

所以a＞0，且顶点在第四象限； （3）∵

，且在抛物线上，

∴b+8=0，∴b=﹣8， ∵a+c=﹣b，∴a+c=8， 把B、C两点代入直线解析式易得：c﹣a=4， 即

解得：

，

如图所示，C在A的右侧， ∴当x≥1时，

．

2

2解析：（1）解：∵抛物线y=ax+c（a≠0）经过C（2，0），D（0，﹣1）， ∴

， 解得

， 所以，抛物线的解析式为y=x﹣1；

2

2

（2）证明：设点A的坐标为（m，m﹣1），

则AO==m+1，

2

∵直线l过点E（0，﹣2）且平行于x轴， ∴点M的纵坐标为﹣2， ∴AM=m﹣1﹣（﹣2）=m+1， ∴AO=AM；

2

2

（3）解：①k=0时，直线y=kx与x轴重合，点A、B在x轴上， ∴AM=BN=0﹣（﹣2）=2， ∴

+

2

=+=1；

2

②k取任何值时，设点A（x1，x1﹣1），B（x2，x2﹣1），

则+=+==，

联立

2

，

消掉y得，x﹣4kx﹣4=0，

由根与系数的关系得，x1+x2=4k，x1?x2=﹣4，

2222

所以，x1+x2=（x1+x2）﹣2x1?x2=16k+8， 22

x1?x2=16， ∴

+

=

=

=1，

∴无论k取何值，+的值都等于同一个常数1．

3 解析：（1）当k=1，m=0时，如图． 由得x﹣x﹣1=0， 2∴x1+x2=1，x1?x2=﹣1， 过点A、B分别作x轴、y轴的平行线，两线交于点C． ∵直线AB的解析式为y=x+1， ∴∠BAC=45°，△ABC是等腰直角三角形， ∴AB=AC=|x2﹣x1|==； 同理，当k=1，m=1时，AB=； （2）猜想：当k=1，m为任何值时，AB的长不变，即AB=由，得x﹣（2m+1）x+m+m﹣1=0， 222．理由如下： ∴x1+x2=2m+1，x1?x2=m+m﹣1， ∴AB=AC=|x2﹣x1|== （3）当m=0，k为任意常数时，△AOB为直角三角形，理由如下： ①当k=0时，则函数的图象为直线y=1，