齐鲁名校教科研协作体2018届高考冲刺模拟数学（理）试题及答案

A为椭圆C的右顶点，以A为圆心的圆与直线y?（Ⅰ）求椭圆C的标准方程和圆A的方程；

ba且AP?AQ?0,OP?3OQ. Q两点，x相交于P，

（Ⅱ）不过原点的直线l与椭圆C交于M、N两点，已知OM，直线l，ON的斜率k1,k,k2成等比数列，记以OM、ON为直径的圆的面积分别为S1、S2，试探究S1?S2的值是否为定值，若是，求出此值；若不是，说明理由.

解：(Ⅰ)如图，设T为PQ的中点，连接AT，则AT⊥PQ，

AP?AQ?0,即AP?AQ,?|AT|?12|PQ|,

又OP?3OQ,所以|OT|?|PQ|,

?|AT||OT|?12,?ba?12,………………………………………………2分

由已知得c?3,所以a2?4,b2?1,

?椭圆C的方程为

22x24?y2?1…………………………………… 4分

|AT|?|OT|?|OA|,

2?|AT|?4|AT|?4,?|AT|??圆A的方程为(x?2)?y222225855,???|AP|?2510,

?.……………………………… 6分

(Ⅱ)设直线l的方程为y?kx?m(m?0),M(x1,y1),N(x2,y2),

?y?kx?m,?222由?x2得(x?4k)x?8kmx?4(m?1)?0， 2?y?1,??4?8km1?4k2?x1?x2?,x1x2?4(m2?1)21?4k.

由题设知，k?k1k2?2y1y2x1x2?(kx1?m)(kx2?m)x1x2?k2?km(x1?x2)?mx1x22,………………8分

?km(x1?x2)?m142?0,??8km1?4k222?m2?0,

m?0,?k2?,………………………………………………………………10分

则S1?S2

?43?16(x1?1?2x1422?x2?1?2x242)?3?16(x1?x2)?22?2?3?16[(x1?x2)?2x1x2]?2?2=[64km22(1?4k)2?8(m2?1)21?4k]??2?3?16[4m2?4(m2?1)]??2?54?

故S1?S2为定值，该定值为

5?4.…………………………………………………………………12分

[考点]椭圆的标准方程、抛物线的性质、直线与圆的位置关系，圆的几何性质、圆的方程、直线与椭圆的位置关系. 21.（本题满分12分）

（改编，难）已知函数f(x)?xlnx,g(x)?a2x?x?a(a?R).

2（Ⅰ）若直线x?t(t?0)与曲线y?f(x)和y?g(x)分别交于A,B两点,且曲线y?f(x)在A处的切线与y?g(x)在B处的切线相互平行，求a的取值范围；

（Ⅱ）设h(x)?f(x)?g(x)在其定义域内有两个不同的极值点x1,x2,且x1?x2.已知??0,若不等式e1???x1?x2?恒成立，求?的取值范围.

???）解：（Ⅰ）依题意，函数f(x)的定义域为（0，，f('x)nl?,1x(')?gx1.ax?因为曲线y?f(x)在A处的切线与y?g(x)在B处的切线相互平行，所以f'(t)?g'(t)在(0,??)有解，即方程

lnt?at?0在(0,??)有解.…………………………………………………………………2分

方程lnt?at?0在(0,??)有解转化为函数y?lnx与函数y?ax的图像在(0,??)上有交点， 如图，令过原点且与函数y?lnx的图像相切的直线的斜率为k，只

须0?a?k.

令切点为A(x0,lnx0),则k?y'|x?x?01x0,又k?lnx0x0，所以

1x0?lnx0x0,解得

x0?e,于是k?1e，所以0?a?1e.………………………………………………………………5分 a2x?x?a(x?0),所以h'(x)?lnx?ax.

2（Ⅱ）h(x)?f(x)?g(x)?xlnx?因为x1,x2为h(x)在其定义域内有两个不同的极值点，所以x1,x2是方程lnx?ax?0的两个根，即

lnx1?ax1,lnx2?ax2,作差得a?lnx1?lnx2x1?x2.………………………………………………6分

因为??0,0?x1?x2,所以,

e1???x1?x2??1???lnx1??lnx2?1???ax1??ax2?a(x1??x2)?a?1??x1??x2

?lnx1?lnx2x1?x2?1??x1??x2?lnx1x2?(1??)(x1?x2)x1??x2?lnx1x2(1??)(?x1x2x1x2?1).…………8分

??令t?x1x2，则t?(0,1)，由题意知，不等式lnt?(1??)(t?1)t??22在t?(0,1)上恒成立.

令?(t)?lnt?(1??)(t?1)t??,则?'(t)?1t?(1??)(t??)?(t?1)(t??)t(t??)22.

2如果??1,对一切t?(0,1),?'(t)?0,所以?(t)在(0,1)上单调递增，又?(1)?0,所以

?(t)?0在(0,1)上恒成立，符合题意.……………………………………………………………10分

2222如果??1,当t?(0,?)时，?'(t)?0;当t?(?,1)时,?'(t)?0,所以?(t)在(0,?)上单调递增，在

(?,1)上单调递减，又?(1)?0,所以?(t)在(0,1)上不能恒小于0，不符合题意，舍去.

2综上所述，若不等式e1???x1?x2?2恒成立，只须??1.又??0,所以??1.……………12分

[考点]导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性、最值，不等式恒成立问题.

选做题（请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多选，则按所做的第一题计分） 22.（本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】

1?x??t,?2?（原创，容易）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为?(t为参数),

?y?33?3t,??2以O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为??2cos?,射线

OM:???3(??0)与圆C交于点O，P，与直线l交于点Q.

（Ⅰ）求直线l的极坐标方程； （Ⅱ）求线段PQ的长度.

解：（Ⅰ）将直线l的参数方程化为普通方程为3x?y?33,…………………………………2分 再结合x??cos?，y??sin?，得直线l的极坐标方程为3?cos???sin??33,

即2?sin(???3)?33.…………………………………………………………………………… 5分

??2?sin(??)?3??3（Ⅱ）联立?????(??0),?3?3,解得Q(3,?3).…………………………………………………7分

??(??0),????联立?解得P(1,).……………………………………………………………… 9分 33???2cos?,?则线段PQ的长度为3－1=2.……………………………………………10分 [考点]方程互化，两点间距离的求法.

23.（本小题满分10分）【选修4－5：不等式选讲】 （原创，容易）已知函数f(x)?|x?1|?2|x|. （Ⅰ）求不等式f(x)??6的解集;

（Ⅱ）若f(x)的图像与直线y?a围成图形的面积不小于14，求实数a的取值范围.

?x?1,x??1,?解：（Ⅰ）f(x)?|x?1|?2|x|??3x?1,?1?x?0,……………………………………………2分

?1?x,x?0.?则不等式f(x)??6等价于??x??1,??1?x?0,或?或?x?1??6?3x?1??6?x?0, ??1?x??6,解得x??5或x?7.…………………………………………………………………………………4分 故不等式f(x)??6的解集为{x|x??5或x?7}.………………………………………………5分 （Ⅱ）作出函数f(x)的图象，如图.

若f(x)的图象与直线y?a围成的图形是三角形，则当

a??2时，△ABC的面积取得最大值

12?4?3?6，

?f(x)的图象与直线y?a围成图形的面积不小于14，该图

形一定是四边形，即a??2.………………………………………………………………………7分

△ABC的面积是6，?梯形ABED的面积不小于8.……………………………………… 8分

AB?4,D(1?a,a),E(1?a,a),DE??2a,

?12?(4?2a)?(?2?a)?14?6?8,a2?12.…………………………………………………9分

又a??2,则a??23,

故实数a的取值范围是(??,?23].……………………………………………………………10分 [考点]绝对值不等式解法，三角形面积的求法.