齐鲁名校教科研协作体2018届高考冲刺模拟数学(理)试题及答案

17.(本题满分12分)

(原创，容易)在等差数列{an}中,a5?0,a10?10. （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）若数列{bn}满足bn?()21an?10，求数列{nbn}的前n项和Sn.

解：（Ⅰ）设数列{an}的公差为d，则an?a1?(n?1)d,由a5?0,a10?10,得方程组

?a1?4d?0,?a1??8，解得………………………………………………………………4分 ??a?9d?10,d?2，??1所以an??8?(n?1)?2?2n?10.……………………………………………………… 6分 （Ⅱ) 由(I)得，bn?()2n?10?10?()n,所以nbn?2411n4n……………………………………………8分

Sn?

14141?142142?????1n4n, ①

Sn??n?????, ② 3n?1441 ①－②，得

34Sn?141?142?????14n?n4n?1?4(1?3414n)?4nn?1，

所以Sn?49?3n?49?4n…………………………………………………………………………12分

[考点]等差数列基本量运算、数列求和.

18.(本题满分12分)

（原创，中档）如图，在四棱锥P-ABCD中，AD⊥平面PCD，PD⊥CD，底面ABCD是梯形，AB∥DC，AB=AD=PD=1，CD=2AB，

Q为棱PC上一点.

(Ⅰ)若点Q是PC的中点，证明：BQ∥平面PAD； (Ⅱ)PQ??PC,试确定?的值使得二面角Q-BD-P为60°.

解析：

(Ⅰ)证明：取PD的中点M，连接AM，MQ，

点Q是PC的中点，

12CD.…………………………………………1分

?MQ∥CD，MQ?又AB∥CD，AB?12CD,则QM∥AB，QM＝AB，

则四边形ABQM是平行四边形.?BQ∥AM.……………………3分 又AM?平面PAD，BQ?平面PAD，?BQ∥平面PAD.……4分

（Ⅱ）解：由题意可得DA，DC，DP两两垂直，以D为原点，DA，DC，DP所在直线为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则P(0，1，1)，C(0，2，0)，A(1，0，0)，B(1，1，0).……………… 5分 令Q(x0,y0,z0),则PQ?(x0,y0,z0?1),PC?(0,2,?1).

PQ??PC,?(x0,y0,z0?1)??(0,2,?1),

?Q(0,2?,1??).……………………………………… 7分

又易证BC⊥平面PBD，?n?(?1,1,0)是平面PBD的一个法向量. 设平面QBD的法向量为m?(x,y,z),

?x??y,??x?y?0,?m?DB?0,? 则有?即?解得?2?2?y?(1??)z?0,z?y.????m?DQ?0,??1?令y?1,则m?(?1,1,2???1).…………………………………………………………………9分

二面角Q?BD?P为60，

?|cos?m,n?|?|m?n||m||n|?2?22?(2?)2?12,

??1解得??3?6.………………………………………………………………………………11分

Q在棱PC上，0???1,???3?[考点]线面平行证明及二面角计算 19.（本题满分12分）

6.…………………………………………………12分

（原创 ，中档）《中华人民共和国民法总则》（以下简称《民法总则》）自2017年10月1日起施行。作为民法典的开篇之作，《民法总则》与每个人的一生息息相关.某地区为了调研本地区人们对该法律的了解情况，随机抽取50人，他们的年龄都在区间[25，85]上，年龄的频率分布及了解《民法总则》的人数如下表：

年龄 频数 了解《民法总则》

（Ⅰ）填写下面2×2 列联表，并判断是否有99%的把握认为以45岁为分界点对了解《民法总则》政策有差异；

[25，35) 5 1 [35，45) 5 2 [45，55) 10 8 [55，65) 15 12 [65，75) 5 4 [75，85) 10 5

（Ⅱ）若对年龄在[45，55），[65，75）的被调研人中各随机选取2人进行深入调研，记选中的4人中不了解《民法总则》的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望.

解：（Ⅰ）2×2列联表：

…………………………………………………………………………………………………………2分

2K?50?(3?11?7?29)10?40?32?182?6.27?6.635,…………………………………………………… 4分

?没有99%的把握认为以45岁为分界点对了解《民法总则》政策有差异.……………………5分

（Ⅱ）X的所有可能取值为0，1，2，3，

P(x?0)?C8C42222C10C521?8422511,

P(x?1)?C8C4?C8C2C4C10C5222?104225,

P(x?2)?C8C2C4?C2C4C10C5C2C422122211122?35225,

P(x?3)?C10C5?2225,…………………………………………………………………………10分

则X的分布列为

X P 0 842251 1042252 10422535225?3 ?62252225? 45.…………………………………………12分

所以X的数学期望是EX?0?70225[考点]统计案例，超几何分布的分布列与期望. 20.（本题满分12分） （改编，难）已知椭圆C:xa22?yb22?1(a?b?0)的一个焦点与抛物线E:x?312y的焦点相同，

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