2021高考数学人教版一轮复习练习：第五章 第3节 等比数列及其前n项和

1

前n项之积，a2＝27，a3·a6·a9＝，则当Tn最大时，n的值为( )

27

A．4 C．6

B．5 D．7

1

，所27

解析：因为数列{an}是各项均为正数的等比数列，a3·a6·a9＝1

311134

以a6＝，解得a6＝.因为a2＝27，所以q＝＝，

2732781

1解得q＝，

3所以an＝a2q

n－2

?1?n－2?1?n－5＝27×?3?＝?3?.

????

?1?n－5

令an＝?3?＝1，解得n＝5，则当Tn最大时，n的值为4或5.

??

答案：AB

素养培育数学运

算、数学抽象——等差(比)数列性质的应用

(自主阅读)

(1)数学运算是指在明析运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养．本系列数学运算主要表现为：理解数列问题，掌握数列运算法则，探究运算思路，求得运算结果．通过对数列性质的学习，发展数学运算能力，促进数学思维发展．

(2)数学抽象是指能够在熟悉的情境中直接抽象出数学概念和规则，能够在特例的基础上归纳形成简单的数学命题，能够在解决相似的问题中感悟数学的通性通法，体会其中的数学思想．

类型1 等差数列两个性质的应用 在等差数列{an}中，Sn为{an}的前n项和： (1)S2n－1＝(2n－1)an；

(2)设{an}的项数为2n，公差为d，则S偶－S奇＝nd.

[典例1] (1)等差数列{an}的前n项和为Sn，已知am－1＋am＋1－a2m

＝0，S2m－1＝38，则m＝________．

(2)一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32∶27，则数列的公差d＝________．

2解析：(1)由am－1＋am＋1－am＝0得2am－a2m＝0，解得am＝0或am

＝2.

（2m－1）（a1＋a2m－1）又S2m－1＝＝(2m－1)am＝38，

2显然可得am≠0，所以am＝2.

代入上式可得2m－1＝19，解得m＝10.

(2)设等差数列的前12项中奇数项和为S奇，偶数项的和为S偶，等差数列的公差为d.

?S奇＋S偶＝354，?S偶＝192，

由已知条件，得?解得?

?S偶∶S奇＝32∶27，?S奇＝162.

192－162

又S偶－S奇＝6d，所以d＝＝5.

6答案：(1)10 (2)5

类型2 等比数列两个性质的应用

在等比数列{an}中，(1)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则an·am

＝ap·aq；(2)当公比q≠－1时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…成等比数列(n∈N*)．

[典例2] (1)等比数列{an}中，a4＝2，a5＝5，则数列{lg an}的前8项和等于( )

A．6 C．4

B．5 D．3

(2)设等比数列{an}中，前n项和为Sn，已知S3＝8，S6＝7，则a7

＋a8＋a9等于( )

1A. 857C. 8

1B．－ 855D. 8

解析：(1)数列{lg an}的前8项和S8＝lg a1＋lg a2＋…＋lg a8＝lg(a1·a2·…·a8)＝lg(a1·a8)4＝lg(a4·a5)4＝lg(2×5)4＝4.

(2)因为a7＋a8＋a9＝S9－S6，且S3，S6－S3，S9－S6也成等比数列，1即8，－1，S9－S6成等比数列，所以8(S9－S6)＝1，即S9－S6＝，所81

以a7＋a8＋a9＝.

8

答案：(1)C (2)A

类型3 等比数列前n项和Sn相关结论的活用

(1)项的个数的“奇偶”性质：等比数列{an}中，公比为q.若共有2n项，则S偶∶S奇＝q.

(2)分段求和：Sn＋m＝Sn＋qnSm(q为公比)．

[典例3] (1)已知等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝________．

(2)已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n项和，且9S3

?1?

＝S6，则数列?a?的前5项和为________．

?n?

?S奇＋S偶＝－240，

解析：(1)由题意，得?

?S奇－S偶＝80，?S奇＝－80，解得?

?S偶＝－160，

S偶－160

所以q＝＝＝2.

S奇－80

(2)设等比数列{an}的公比q，易知S3≠0. 则S6＝S3＋S3q3＝9S3，所以q3＝8，q＝2.

?1?1??所以数列a是首项为1，公比为的等比数列，其前5项和为

2?n??1?5

1－?2???

31＝. 1161－2

31

答案：(1)2 (2)

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