2021高考数学人教版一轮复习练习：第五章 第3节 等比数列及其前n项和

所以an＋1＝an＋2，所以an＋1－an＝2，

所以数列{an}是等差数列，公差为2，又a1＝1， 所以an＝1＋2(n－1)＝2n－1.

n（1＋2n－1）

(2)数列{an}的前n项和Sn＝＝n2.

2等比数列{bn}中，b1＝a1＝1，b2＝a2＝3，所以q＝3. 所以bn＝3n－1.

1－3n3n－1

所以数列{bn}的前n项和Tn＝＝.

21－33n－1

Tn≤Sn可化为≤n2，又n∈N*，所以n＝1或2.

2故适合条件Tn≤Sn的所有n的值为1，2.

[B级 能力提升]

11．(2020·合肥二模“)垛积术”(隙积术)是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创，南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有茭草垛、方垛、刍童垛、三角垛等．某仓库中部分货物堆放成如图所示的“茭草垛”：自上而下，第一层1件，以后每一层比上一层多1件，最后一层是n件．已知第一层货物单价是1万元，从第二层起，货物的单价是上一层单价的

??9?n?

?100－200???万元，则n的值为( )

?10???

9

.若这堆货物总价是10

A．7 C．9

B．8 D．10

解析：由题意知，茭草垛自上而下堆放的货物件数构成一个等差

?9?n－1

数列{an}，且an＝n，货物单价构成一个等比数列{bn}，且bn＝?10?，

???9?n－1??所以每一层货物的总价为anbn＝n·万元， ?10?

所以这堆货物的总价(单位：万元)为Sn＝a1b1＋a2b2＋a3b3＋…＋anbn，

?9?2?9?n－29

所以Sn＝1×1＋2×＋3×?10?＋…＋(n－1)×?10?＋n×

10?????9?n－1

??. ?10?

?9?2?9?3999

两边同乘得，Sn＝1×＋2×?10?＋3×?10?＋…＋(n－1)×

101010?????9?n－1?9?n

??＋n×?10?， 10????

?9?n－1?9?n19?9?2?9?3

两式相减得Sn＝1＋＋?10?＋?10?＋…＋?10?－n×?10?1010?????????9?n

＝10－(10＋n)×?10?，

??

?9?n

所以Sn＝100－10×(10＋n)×?10?，

??

?9?n?9?n

由100－10×(10＋n)×?10?＝100－200×?10?，

????

整理得10×(10＋n)＝200，解得n＝10. 答案：D

12．数列{an}满足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝3－a1＋a2＋…＋an＝________．

2n＋3

解析：因为a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝3－n，

22n＋1

所以a1＋3a2＋…＋(2n－3)an－1＝3－n1(n≥2)，

2－2n－11

两式相减得(2n－1)an＝n(n≥2)，an＝n(n≥2)，

2251

当n＝1时，a1＝3－＝，适合上式，

221

所以an＝n(n∈N*)．

2

1?1?

?1－?2?2n?1

因此a1＋a2＋…＋an＝＝1－n. 121－2

2n＋3

n∈N*，则n，2

1

答案：1－n 2

13．(2020·长治二模)Sn为等比数列{an}的前n项和，已知a4＝9a2，S3＝13，且公比q>0.

(1)求an及Sn.

(2)是否存在常数λ，使得数列{Sn＋λ}是等比数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．

?

?a（1－q）

＝13，解得a＝1，q＝3， 解：(1)由题意可得?1－q

??q>0，

1

3

1

a1q3＝9a1q，

1－3n3n－1

所以an＝3n－1，Sn＝＝.

21－3

(2)假设存在常数λ，使得数列{Sn＋λ}是等比数列， 因为S1＋λ＝λ＋1，S2＋λ＝λ＋4，S3＋λ＝λ＋13，

111

所以(λ＋4)＝(λ＋1)(λ＋13)，解得λ＝，此时Sn＋＝×3n，则

222

2

1

Sn＋1＋

2

＝3， 1Sn＋

2

?1?1

?故存在常数λ＝，使得数列Sn＋2?是等比数列．

2??

[C级 素养升华]

14．(多选题)设数列{an}是各项均为正数的等比数列，Tn是{an}的