苏教版（理）[步步高]2014届高三数学大一轮复习讲义配套Word版文档9.2

§9.2 两条直线的位置关系

2014高考会这样考 1.考查两条直线的平行、垂直关系；2.考查两点间的距离公式及点到直线的距离公式的应用．

复习备考要这样做 1.对于两条直线的位置关系问题，求解时要注意斜率不存在的情况，注意平行、垂直时直线方程系数的关系；2.熟记距离公式，如两点之间的距离、点到直线的距离、两条平行线之间的距离．

1．两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行

对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2?k1＝k2.特别地，当直线l1、l2的斜率都不存在时，l1与l2平行． (2)两条直线垂直

如果两条直线l1，l2斜率存在，设为k1，k2，则l1⊥l2?k1·k2＝－1，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直． 2．两直线相交

交点：直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的公共点的坐标与方程组

??A1x＋B1y＋C1＝0，?的解一一对应． ?A2x＋B2y＋C2＝0?

相交?方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解； 平行?方程组无解； 重合?方程组有无数个解． 3．三种距离公式

(1)点A(x1，y1)、B(x2，y2)间的距离： AB＝

?x2－x1?2＋?y2－y1?2.

(2)点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离：

|Ax0＋By0＋C|d＝ .

A2＋B2(3)两平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0 (C1≠C2)间的距离为d＝[难点正本 疑点清源]

1．两条直线平行、垂直的充要条件是有大前提的，就是两条直线都有斜率．当直线无斜率时，要单独考虑．

2．与直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)平行、垂直的直线方程的设法：

|C2－C1|. A2＋B2一般地，平行的直线方程设为Ax＋By＋m＝0；垂直的直线方程设为Bx－Ay＋n＝0.

1．直线Ax＋3y＋C＝0与直线2x－3y＋4＝0的交点在y轴上，则C的值为________． 答案 －4

4

0，?在第一条直线上，所以C＝－4. 解析 因为两直线的交点在y轴上，所以点??3?2．若直线x－2y＋5＝0与直线2x＋my－6＝0互相垂直，则实数m＝________. 答案 1

21

－?＝－1，∴m 解析 ∵直线x－2y＋5＝0与直线2x＋my－6＝0互相垂直，∴×?2?m?＝1.

3．已知直线l1与l2：x＋y－1＝0平行，且l1与l2的距离是2，则直线l1的方程为________________．

答案 x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0

|c＋1|

解析 设l1的方程为x＋y＋c＝0，则＝2.

2∴|c＋1|＝2，即c＝1或c＝－3.

4．过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是______________． 答案 x－2y－1＝0

解析 ∵所求直线与直线x－2y－2＝0平行，

1

∴所求直线的斜率为k＝，又直线过点(1,0)，可得所求方程为x－2y－1＝0.

2

1

5．若经过点(3，a)、(－2,0)的直线与经过点(3，－4)且斜率为的直线垂直，则a的值为______．

2答案 －10

a－0

解析 ∵＝－2，∴a＝－10.

3－?－2?

题型一 两条直线的平行与垂直

例1 已知直线l1：ax＋2y＋6＝0和直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0.

(1)试判断l1与l2是否平行； (2)l1⊥l2时，求a的值．

思维启迪：运用两条直线平行或垂直的条件求解，要注意斜率为0或斜率不存在的情形． 解 (1)方法一 当a＝1时， l1：x＋2y＋6＝0， l2：x＝0，l1不平行于l2；

当a＝0时，l1：y＝－3， l2：x－y－1＝0，l1不平行于l2； 当a≠1且a≠0时，两直线可化为

a1

l1：y＝－x－3，l2：y＝x－(a＋1)，

21－aa1??－2＝1－a，

l1∥l2?? 解得a＝－1，

??－3≠－?a＋1?，综上可知，a＝－1时，l1∥l2，否则l1与l2不平行．

方法二 由A1B2－A2B1＝0，得a(a－1)－1×2＝0，由A1C2－A2C1≠0，得a(a2－1)－1×6≠0， ??a?a－1?－1×2＝0，

∴l1∥l2??2

?a?a－1?－1×6≠0，?

2

??a－a－2＝0，??2?a＝－1， ?a?a－1?≠6，?

故当a＝－1时，l1∥l2，否则l1与l2不平行． (2)方法一 当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0， l1与l2不垂直，故a＝1不成立；

当a＝0时，l1：y＝－3，l2：x－y－1＝0，l1不垂直于l2；

a1

当a≠1且a≠0时，l1：y＝－x－3，l2：y＝x－(a＋1)，

21－a

a12－?·＝－1?a＝. 由??2?1－a3

2

方法二 由A1A2＋B1B2＝0得a＋2(a－1)＝0?a＝.

3

探究提高 (1)当直线的方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x、y的系数不能同时为零这一隐含条件． (2)在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论．

已知两直线l1：mx＋8y＋n＝0和l2：2x＋my－1＝0.试确定m、n的值，使：

(1)l1与l2相交于点P(m，－1)； (2)l1∥l2；

(3)l1⊥l2，且l1在y轴上的截距为－1.

2??m－8＋n＝0

解 (1)由题意得?，解得m＝1，n＝7.

?2m－m－1＝0?

(2)当m＝0时，显然l1不平行于l2； m8n

当m≠0时，由＝≠，

2m－1

?m·?m＝4，?m＝－4，m－8×2＝0，???得? ∴?或? ???8×?－1?－n·m≠0，n≠－2，n≠2.???

即m＝4，n≠－2时或m＝－4，n≠2时，l1∥l2. (3)当且仅当m·2＋8·m＝0，即m＝0时，l1⊥l2.

n

又－＝－1，∴n＝8.

8即m＝0，n＝8时，l1⊥l2，且l1在y轴上的截距为－1. 题型二 两条直线的交点问题

例2 求经过直线l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交点，且垂直于直线l3：3x－5y

＋6＝0的直线l的方程．

思维启迪：可先求出l1与l2的交点，再用点斜式；也可利用直线系方程求解．

??3x＋2y－1＝0

解 方法一 先解方程组?，

??5x＋2y＋1＝0

得l1、l2的交点坐标为(－1,2)，

35

再由l3的斜率求出l的斜率为－，

53于是由直线的点斜式方程求出l： 5

y－2＝－(x＋1)，即5x＋3y－1＝0.

3

方法二 由于l⊥l3，故l是直线系5x＋3y＋C＝0中的一条，而l过l1、l2的交点(－1,2)， 故5×(－1)＋3×2＋C＝0，由此求出C＝－1， 故l的方程为5x＋3y－1＝0.

方法三 由于l过l1、l2的交点，故l是直线系3x＋2y－1＋λ(5x＋2y＋1)＝0中的一条， 将其整理，得(3＋5λ)x＋(2＋2λ)y＋(－1＋λ)＝0.

3＋5λ51

其斜率－＝－，解得λ＝，

352＋2λ代入直线系方程即得l的方程为5x＋3y－1＝0.

探究提高 运用直线系方程，有时会给解题带来方便，常见的直线系方程有： (1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0 (m∈R且m≠C)； (2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋m＝0 (m∈R)；

(3)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0 (λ∈R)，但不包括l2.

如图，设一直线过点(－1,1)，它被两平行直线l1：x＋2y－1＝0，l2：x＋2y

－3＝0所截的线段的中点在直线l3：x－y－1＝0上，求其方程．

解 与l1、l2平行且距离相等的直线方程为x＋2y－2＝0. 设所求直线方程为(x＋2y－2)＋λ(x－y－1)＝0，