2014圆锥曲线压轴题终极训练

19．（2012?泉州模拟）已知椭圆C的方程为：（1）求该椭圆的标准方程； （2）设动点P（x0，y0）满足

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，其焦点在x轴上，离心率e=．

，其中M，N是椭圆C上的点，直线OM与ON的斜率之积为﹣，求

证：x0+2y0为定值．

（3）在（2）的条件下，问：是否存在两个定点A，B，使得|PA|+|PB|为定值？若存在，给出证明；若不存在，请说明理由．

20．（2012?南京二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：

+

=1（a＞b＞0）的离心率为

，以原

点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+2=0相切． （1）求椭圆C的方程； （2）已知点P（0，1），Q（0，2）．设M，N是椭圆C上关于y轴对称的不同两点，直线PM与QN相交于点T，求证：点T在椭圆C上．

22

21．（2012?闵行区三模）已知椭圆T：

+

22

=1（a＞b＞0）的左、右焦点依次为F1，F2，点M（0，2）是椭圆

的一个顶点，?=0．

（1）求椭圆T的方程；

（2）设G是点F1关于点F2的对称点，在椭圆T上是否存在两点P、Q，使

=

+

，若存在，求出这两点，

若不存在，请说明理由；

（3）设经过点F2的直线交椭圆T于R、S两点，线段RS的垂直平分线与y轴相交于一点T（0，y0），求y0的取值范围．

22．（2012?洛阳一模）如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为AB平行于OM，且交椭圆于A，B两点． （1）求椭圆的方程；

（2）求直线AB在y轴上截距的取值范围；

（3）记直线MA，MB斜率分别为k1，k2．试问k1+k2是否为定值？若是，求出k1+k2的值，否则，说明理由．

23．（2012?泸州一模）已知椭圆

的长轴长是焦距的2倍，右准线方程为x=4．

，且经过点M（2，1），直线

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）已知点D坐标为（4，0），椭圆C上动点Q关于x轴的对称点为点P，直线PD交椭圆C于点R（异于点P），求证：直线QR过定点．

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24．（2012?泸州二模）已知双曲线方程

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，椭圆方程，A、D分别是双曲线和

椭圆的右准线与x轴的交点，B、C分别为双曲线和椭圆的右顶点，O为坐标原点，且|OA|，|OB|，|OC|，|OD|成等比数列．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）若E是椭圆长轴的左端点，动点M满足MC⊥CE，连接EM，交椭圆于点P，在x轴上有异于点E的定点Q，使得以MP为直径的圆恒过直线CP、MQ的交点，求点Q的坐标． 25．（2012?黄浦区一模）已知两点A（﹣1，0）、B（1，0），点P（x，y）是直角坐标平面上的动点，若将点P的横坐标保持不变、纵坐标扩大到

倍后得到点Q（x，

）满足

．

（1）求动点P所在曲线C的轨迹方程； （2）过点B作斜率为

的直线l交曲线C于M、N两点，且满足

，又点H关于原点O的对称

点为点G，试问四点M、G、N、H是否共圆，若共圆，求出圆心坐标和半径；若不共圆，请说明理由． 26．（2012?葫芦岛模拟）如图，椭圆C：

+

=1（a＞b＞0）的左右顶点为A1，A2，左右焦点为F1，F2，其中

F1，F2是A1A2的三等分点，A是椭圆上任意一点，且|AF1|+|AF2|=6． （1）求椭圆C的方程；

（2）设直线AF1与椭圆交于另一点B，与y轴交于一点C，记m=求m+n的取值范围．

，n=

，若点A在第一象限，

7．（2012?贵州模拟）椭圆C：

的左、右焦点分别为F1（﹣1，0）、F2（1，0），O是坐

．

标原点，C的右顶点和上顶点分别为A、B，且△AOB的面积为（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）过点P（4，0）作与x轴不重合的直线l与C交于相异两点M、N，交y轴于Q点，证明值，并求这个定值．

28．（2012?崇明县二模）已知曲线C上动点P（x，y）到定点F1（数

．

，0）与定直线l1：x=

为定

的距离之比为常

（1）求曲线C的轨迹方程；

（2）若过点Q（1，）引曲线C的弦AB恰好被点Q平分，求弦AB所在的直线方程；

（3）以曲线C的左顶点T为圆心作圆T：（x+2）+y=r（r＞0），设圆T与曲线C交于点M与点N，求最小值，并求此时圆T的方程．

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的

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29．（2012?成都模拟）已知m＞1，直线l：x﹣my﹣=0，椭圆C：

+y=1，F1、F2分别为椭圆C的左、右焦

2

点．

（I）当直线l过右焦点F2时，求直线l的方程；

（II）当直线l与椭圆C相离、相交时，求m的取值范围；

（III）设直线l与椭圆C交于A、B两点，△AF1F2，△BF1F2的重心分别为G、H．若原点O在以线段GH为直径的圆内，求实数m的取值范围．

2

30．（2012?长宁区二模）设抛物线C：y=2px（p＞0）的焦点为F，过F且垂直于x轴的直线与抛物线交于P1，P2两点，已知|P1P2|=8． （1）求抛物线C的方程；

（2）设m＞0，过点M（m，0）作方向向量为

的直线与抛物线C相交于A，B两点，求使∠AFB

为钝角时实数m的取值范围； （3）①对给定的定点M（3，0），过M作直线与抛物线C相交于A，B两点，问是否存在一条垂直于x轴的直线与以线段AB为直径的圆始终相切？若存在，请求出这条直线；若不存在，请说明理由． ②对M（m，0）（m＞0），过M作直线与抛物线C相交于A，B两点，问是否存在一条垂直于x轴的直线与以线段AB为直径的圆始终相切？（只要求写出结论，不需用证明）

参考答案与试题解析

一．填空题（共3小题）

1．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点和短轴的两个端点构成边长为2的正方形．

（Ⅰ）求椭圆 C的方程；

（Ⅱ）过点Q（1，0）的直线 l与椭圆C 相交于A，B两点．点P（4，3），记直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，当k1?k2 最大时，求直线l的方程．

考点： 专题： 分析： 椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的关系．2806549 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程． （I）根据题意，结合正方形的性质可得b=c且=2，由此算出a=2，即可得到椭圆C的方程； （II）当直线l的斜率等于0时，结合椭圆的方程算出k1?k2=；直线l的斜率不等于0时，设A（x1，y1），B（x2，y2），直线l方程为x=my+1，由直线l方程与椭圆方程消去x得到关于y的一元二次方程，利用根与系数的关系得到y1+y2=，y1y2=．由此利用直线的斜率公式和直线l方程化简k1?k2的式子，再根据基本不等式加以计算，可得k1?k2=+值为1，可得此时的直线l的方程． ≤1，当且仅当m=1时，等号成立．因此当m=1时k1?k2的最大 第 7 页 共 7 页

解答： 解：（I）∵椭圆C方程为：+=1（a＞b＞0）， 第 8 页 共 8 页

∴由左、右焦点和短轴的两个端点构成边长为2的正方形， 可得b=c且=2，解得b=c=，a==2． ∴椭圆 C的方程为； （II）①直线l的斜率等于0时，A、B分别为左右顶点， ∴k1?k2=?=； ②直线l的斜率不等于0时，设直线l的方程为x=my+1，A（x1，y1），B（x2，y2）． 由消去x，整理得（m2+2）y2+2my﹣3=0． ∴y1+y2=，y1y2=． ∵x1=my1+1，x2=my2+1， ∴k1?k2=?== ===+． 令t=4m+1，则==≤=， ∴k1?k2=+≤+=1，当且仅当t=5即m=1时，等号成立． 综合①②，可得k1?k2的最大值为1，此时的直线l方程为x=y+1，即x﹣y﹣1=0． 点评： 本题给出椭圆满足的条件，求椭圆的方程并研究直线斜率之积的最大值问题．着重考查了椭圆的标准方程与简单几何性质、直线的基本量与基本形式、用基本不等式求最值和直线与圆锥曲线的位置关系等知识，属于中档题．

2．如图，在△ABC中，已知A（﹣3，0），B（3，0），CD⊥AB于D，△ABC的垂心为 H且

．

（Ⅰ）求点H的轨迹方程；

（Ⅱ）设P（﹣1，0），Q（1，0），那么

能否成等差数列？请说明理由；

（Ⅲ）设直线AH，BH与直线l：x=9分别交于M，N点，请问以MN为直径的圆是否经过定点？并说明理由．

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