[精品推荐]最新2018人教版12、人教版小学数学一年级上册数11-20各数、读数和写数

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每节课的练习

【第一课时】 11～20各数的认识

⒈ 看图写数。

答案：12，13，15，20

⒉ 画一画。

⒊ 试一试。

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排列组合

知识结构

一、 排列问题

在实际生活中经常会遇到这样的问题，就是要把一些事物排在一起，构成一列，计算有多少种排法，就是排列问题．在排的过程中，不仅与参与排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关．

一般地，从n个不同的元素中取出m(m?n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．

根据排列的定义，两个排列相同，指的是两个排列的元素完全相同，并且元素的排列顺序也相同．如果两个排列中，元素不完全相同，它们是不同的排列；如果两个排列中，虽然元素完全相同，但元素的排列顺序不同，它们也是不同的排列．

排列的基本问题是计算排列的总个数．

从n个不同的元素中取出m(m?n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同的元素的排列中取出m个元素的排列数，我们把它记做Pnm．

根据排列的定义，做一个m元素的排列由m个步骤完成：

步骤1：从n个不同的元素中任取一个元素排在第一位，有n种方法；

步骤2：从剩下的(n?1)个元素中任取一个元素排在第二位，有(n?1)种方法； ??

步骤m：从剩下的[n?(m?1)]个元素中任取一个元素排在第m个位置，有

n?（m?1）?n?m?1(种)方法；

由乘法原理，从n个不同元素中取出m个元素的排列数是

n（?n?1）（?n?2）??（?n?m?1）nn?1）（.n?2）（?n?m?1），即Pnm?（，这里，m?n，且等号

右边从n开始，后面每个因数比前一个因数小1，共有m个因数相乘．

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二、 排列数

一般地，对于m?n的情况，排列数公式变为Pnn?n（?n?1）（?n?2）???3?2?1． 表示从n个不同元素中取n个元素排成一列所构成排列的排列数．这种n个排列全部取出的排列，叫做n个不同元素的全排列．式子右边是从n开始，后面每一个因数比前一个因数小1，一直乘到1的乘积，记为n!，读做n的阶乘，则Pnn还可以写为：Pnn?n!，其中

n!?n（?n?1）（?n?2）????3?2?1　．

在排列问题中，有时候会要求某些物体或元素必须相邻；求某些物体必须相邻的方法数量，可以将这些物体当作一个整体捆绑在一起进行计算．

三、 组合问题

日常生活中有很多“分组”问题．如在体育比赛中，把参赛队分为几个组，从全班同学中选出几人参加某项活动等等．这种“分组”问题，就是我们将要讨论的组合问题，这里，我们将着重研究有多少种分组方法的问题．

一般地，从n个不同元素中取出m个(m?n)元素组成一组不计较组内各元素的次序，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．

从排列和组合的定义可以知道，排列与元素的顺序有关，而组合与顺序无关．如果两个组合中的元素完全相同，那么不管元素的顺序如何，都是相同的组合，只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合．

从n个不同元素中取出m个元素(m?n)的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取

m出m个不同元素的组合数．记作Cn．

一般地，求从n个不同元素中取出的m个元素的排列数Pnm可分成以下两步：

m第一步：从n个不同元素中取出m个元素组成一组，共有Cn种方法； m 第二步：将每一个组合中的m个元素进行全排列，共有Pm种排法．

mmm根据乘法原理，得到Pn?Cn?Pm． m因此，组合数Cn?PnmmPm?n（?n?1）（?n?2)??（?n?m?1）．

m（?m?1）（?m?2）???3?2?1这个公式就是组合数公式．

四、 组合数的重要性质

mn?m一般地，组合数有下面的重要性质：Cn(m?n) ?Cn数学精品

m这个公式的直观意义是：Cn表示从n个元素中取出m个元素组成一组的所有分组方n?m法．Cn表示从n个元素中取出(n?m)个元素组成一组的所有分组方法．显然，从n个元

素中选出m个元素的分组方法恰是从n个元素中选m个元素剩下的(n?m)个元素的分组方法．

例如，从5人中选3人开会的方法和从5人中选出2人不去开会的方法是一样多的，即

32． C5?C5n0规定Cn?1，Cn?1．

五、 插板法一般用来解决求分解一定数量的无差别物体的方法的总数，使用插板法一

般有三个要求：①所要分解的物体一般是相同的：②所要分解的物体必须全部分完：③参与分物体的组至少都分到1个物体，不能有没分到物体的组出现．

在有些题目中，已知条件与上面的三个要求并不一定完全相符，对此应当对已知条件进行适当的变形，使得它与一般的要求相符，再适用插板法．

六、

使用插板法一般有如下三种类型：

⑴ m个人分n个东西，要求每个人至少有一个．这个时候我们只需要把所有的东西排成

一排，在其中的

(n?1)个空隙中放上

(m?1)m?1Cn个插板，所以分法的数目为?1．

⑵ m个人分n个东西，要求每个人至少有a个．这个时候，我们先发给每个人(a?1)个，

还剩下[n?m(a?1)] 个东西，这个时候，我们把剩下的东西按照类型⑴来处理就可以

m?1了．所以分法的数目为Cn?m(a?1)?1．

⑶ m个人分n个东西，允许有人没有分到．这个时候，我们不妨先借来m个东西，每个人多发1个，这样就和类型⑴一样了，不过这时候物品总数变成了(n?m)个，因此分法

m?1的数目为Cn?m?1．

例题精讲

【例 1】 4个男生2个女生6人站成一排合影留念，有多少种排法？如果要求2个女生紧

挨着排在正中间有多少种不同的排法？