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已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为（1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程；

3的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P． 2uuuruuur（2）若AP?3PB，求|AB|．

20．（12分）

已知函数f(x)?sinx?ln(1?x)，f?(x)为f(x)的导数．证明： （1）f?(x)在区间(?1,)存在唯一极大值点； （2）f(x)有且仅有2个零点． 21．（12分）

为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得?1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得?1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X． （1）求X的分布列；

（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，pi(i?0,1,L,8)表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p0?0，p8?1，pi?api?1?bpi?cpi?1(i?1,2,L,7)，其中

?2a?P(X??1)，b?P(X?0)，c?P(X?1)．假设??0.5，??0.8．

(i)证明：{pi?1?pi}(i?0,1,2,L,7)为等比数列； (ii)求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性．

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）

?1?t2x?，?2?1?t（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的

在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为??y?4t?1?t2?正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2?cos??3?sin??11?0． （1）求C和l的直角坐标方程； （2）求C上的点到l距离的最小值． 23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）

已知a，b，c为正数，且满足abc=1．证明： （1）

111???a2?b2?c2； abc333（2）(a?b)?(b?c)?(c?a)?24．

2019年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学?参考答案

一、选择题

1．C 2．C 3．B 4．B 5．D 6．A 7．B 8．A 9．A 10．B 11．C 12．D 二、填空题 13．y=3x 三、解答题

17．解：（1）由已知得sinB?sinC?sinA?sinBsinC，故由正弦定理得b?c?a?bc．

22222214．

121 315．0.18 16．2

b2?c2?a21?． 由余弦定理得cosA?2bc2因为0?A?180，所以A?60．

?（2）由（1）知B?120?C，由题设及正弦定理得2sinA?sin120?C?2sinC，

??????即

6312?cosC?sinC?2sinC，可得cos?C?60????． 2222??由于0?C?120，所以sinC?60????2，故 2sinC?sin?C?60??60??

?sin?C?60??cos60??cos?C?60??sin60?

?6?2． 418．解：（1）连结B1C，ME．

因为M，E分别为BB1，BC的中点， 所以ME∥B1C，且ME=

1B1C． 21A1D． 2又因为N为A1D的中点，所以ND=

PDC，可得B1CPA1D，故MEPND， 由题设知A1B1???因此四边形MNDE为平行四边形，MN∥ED． 又MN?平面EDC1，所以MN∥平面C1DE． （2）由已知可得DE⊥DA．

以D为坐标原点，DA的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D?xyz，则

uuur

uuuruuuurA(2,0,0)，A1(2，0，4)，M(1,3,2)，N(1,0,2)，A1A?(0,0,?4)，A1M?(?1,3,?2)，uuuuruuuurA1N?(?1,0,?2)，MN?(0,?3,0)．

uuuur??m?A1M?0uuur设m?(x,y,z)为平面A1MA的法向量，则?， ??m?A1A?0???x?3y?2z?0，所以?可取m?(3,1,0)．

???4z?0．uuuur??n?MN?0，n?(p,q,r)AMN r设为平面1的法向量，则?uuuu??n?A1N?0．???3q?0，所以?可取n?(2,0,?1)．

???p?2r?0．于是cos?m,n??m?n2315， ??|m‖n|2?5510． 5所以二面角A?MA1?N的正弦值为19．解：设直线l:y?3x?t,A?x1,y1?,B?x2,y2?． 2（1）由题设得F?35?3?,0?，故|AF|?|BF|?x1?x2?，由题设可得x1?x2?．

22?4?