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北京丰台区2019年高三第二学期统一练习（一）（数学理）
数 学 试 题〔理〕
本卷须知
1、答题前，考生务必先将答题卡上的学校、班级、姓名、准考证号用黑色字迹签字笔
填写清楚，并认真核对条形码上的准考证号、姓名，在答题卡的“条形码粘贴区”贴好条形码。 2、本次考试所有答题均在答题卡上完成。选择题必须使用2B铅笔以正确填涂方式将各
小题对应选项涂黑，如需改动，用橡皮擦除干净后再选涂其它选项。非选择题必须使用标准黑色字迹签字笔书写，要求字体工整、字迹清楚。作图题用2B铅笔作图，要求线条、图形清晰。
3、请严格按照答题卡上题号在相应答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效，在
试题、草稿纸上答题无效。
4、请保持答题卡卡面清洁，不要装订、不要折叠、不要破损。
第一部分 〔选择题 共40分〕
【一】选择题共8小题，每题5分，共40分、在每题列出的四个选项中，选出符合题目要
求的一项、 1、集合A?{x|x2?1},B?{a}，假设A
A、(??,?1)C、〔-1，1〕
B、(1,??) ???,?1?
〔 〕 B??，那么a的取值范围是
?1,???
D、[-1，1]
那么z?3x?5y的取值范围是 〔 〕
2、假设变量x，y满足条件
?y?0,??x?2y?1,?x?4y?3,? 3、
A、
?3,???
B、[?8,3]
C、
???,9?
D、[?8,9]
x26(?)2x
A、10
的二项展开式中，常数项是
〔 〕 B、15
C、20 D、30
4、向量
a?(sin?,cos?),b?(3,4)，假设a?b，那么tan2?等于
〔 〕 B、6
C、
A、24
7724 ?25D、
24 ?75、假设正四棱锥的正视图和侧视图如右图所示，那么该几何体的表面积是〔 〕 A、4
B、4?410
C、8 D、4?411 6、学校组织一年级4个班外出春游，每个班从指定的甲、乙、丙、丁四个景区
中任选一个游览，那么恰有2个班选择了甲景区的选法共有 〔 〕
A、C、
2A4?32种 2C4?32种
B、D、
2A4?A32种 2C4?A32种
q:g(x)在(a,b)内有最值，那么命题p是命题q成立的
〔〕 A、充分不必要条件 C、充要条件
B、必要不充分条件
D、既不充分也不必要条件
8、定义在R上的函数y?f(x)满足f(x?2)?f(x)，当?1?x?1时，f(x)?x3，假设
函数g(x)?f(x)?log|x|至少有6个零点，那么a
a
A、
〔〕
1
a?5或a?5 B、
1a?(0,)5?5,???
C、
11a?[,][5,7]75D、
11a?[,][5,7]75第二部分〔非选择题共110分〕
【二】填空题共6小题，每题5分，共30分。
9、双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，一条渐近线方程为
3，那么该双曲线的离y?x4心率是。
10、等比数列{a}的首项为1，假设4a,2a,a，成等差数列，那么数列
1的前5项和n123{}an为。
11、在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是
?3x?1?t,??2??y?1t??2〔t为参数〕。以O为极
点，x轴正方向为极轴的极坐标系中，圆C的极坐标方程是?2?4?cos??3?0.那么圆心到直线的距离是___、
12、如下图，Rt△ABC内接于圆，?ABC?60?，PA是
圆的切线，A为切点，PB交AC于E，交圆于D。假设PA=AE， PD=3,BD?33，那么AP=，AC=。
13、执行如下图所示的程序框图，那么输出的i值为。
14、定义在区间[a，b]上的连结函数y?f(x)，如果???[a,，使得b]f(b)?f(a?)
。以下函数： ?f'()?b(，那么称a?为区间[a，b]上的“中值点”
①f(x)?3x?2;②f(x)?x2?x?1;③f(x)?ln(x?1)；④
13中，在
f(x)?(x?)2区间[0，1]上“中值点”多于一个函数序号为。〔写出所有满足条件的函数的序号〕 ．．【三】解答题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程、 15、〔本小题共13分〕
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且asinB?bcosC?ccosB. 〔I〕判断△ABC的形状； 〔Ⅱ〕假设
121，求f〔A〕的取值范围、
f(x)?cos2x?cosx?23216、〔本小题共14分〕
四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，侧面PAD?底面ABCD，
?BCD?60?,PA?PD?2，E是BC的中点，点Q在侧棱PC上、
〔I〕求证：AD?PB；
〔Ⅱ〕假设Q是PC的中点，求二面角E—DQ—C的余弦值；
〔Ⅲ〕假设PQPC??，当PA//平面DEQ时，求A的值、
17、〔本小题共13分〕
某班共有学生40人，将一次数学考试成绩〔单位：分〕绘制成频率分布直方图，如下
图。
〔I〕请根据图中所给数据，求出a的值；
〔Ⅱ〕从成绩在[50，70〕内的学生中随机选3名学生，求这3名学生的成绩都在[60，
70〕内的概率；
〔Ⅲ〕为了了解学生本次考试的失分情况，从成绩在[50，70〕内的学生中随机选取3
人的成绩进行分析，用X表示所选学生成绩在[60，70〕内的人数，求X的分布列和数学期望、 18、〔本小题共13分〕
函数f(x)?ax2?(a?2)x?lnx.、
〔I〕当a=l时，求曲线y=f〔x〕在点〔1，f〔l〕〕处的切线方程；
〔Ⅱ〕当a>0时，假设f〔x〕在区间[1，e]上的最小值为-2，求a的取值范围； 〔Ⅲ〕假设对任意x,x?(0,??),x?x，且f(x)?2x?f(x)?2x恒成立，求a
12121122的取值范围、
19、〔本小题共14分〕
椭圆
的离心率为、 x2y22，且经过点M〔一2，0〕
C:2?2?1(a?b?0)ab2
〔I〕求椭圆C的标准方程；
〔Ⅱ〕设直线l:y?kx?m与椭圆C相交于A(x,y),B(x,y)两点，连接MA,MB并
1122延长交直线x=4于P，Q两点，设
Q的纵坐标，且
yP,yQ分别为点P，1111，
???y1y2yPyQ求证直线l过定点。 20、〔本小题共13分〕
函数f(x)?x2?x,f'(x)为函数f(x)的导函数。
〔1〕假设数列{a}满足a?f'(a),且a?1，求数列{a}的通项公式；
n?1n1nn〔2〕假设数列{b}满足b?b,b?f(b)。
n1n?1n〔i〕是否存在实数b，使得数列{b}是等差数列？假设存在，求出b的值；假设不存
n在，请说明理由。
〔ii〕假设b?0，求证：
bi1?.?bbi?1i?1n
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