当前位置：首页 > 2020届北京市高考数学理科模拟试题(有答案)(Word版)
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普通高等学校招生全国统一考试
数学（理）（北京卷）
本试卷共5页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第一部分（选择题共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． （1）已知集合A=B=，则 （A） （B）
（C） （D）
（2）若x,y满足
，则2x+y的最大值为
（A）0 （B）3 （C）4 （D）5
（3）执行如图所示的程序框图，若输入的a值为1，则输出的k值为
（A）1 （B）2
（C）3 （D）4
（4）设a,b是向量，则“IaI=IbI”是“Ia+bI=Ia-bI”的
（A） 充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C） 充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 （5）已知x,yR,且xyo，则
（A）-（C） （B）
(-
0 （D）lnx+lny
(6)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为
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（A） （B） （C） （D）1
(7)将函数若 P′位于函数
图像上的点P（的图像上，则
，s的最小值为 ，s的最小值为
，t ）向左平移s（s﹥0） 个单位长度得到点P′.
（A）t= ，s的最小值为 （B）t=（C）t= ，s的最小值为 （D）t=
（8）袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则
（A）乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 （B）乙盒中红球与丙盒中黑球一样多
（C）乙盒中红球不多于丙盒中红球 （D）乙盒中黑球与丙盒中红球一样多
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． （9）设aR，若复数（1+i）（a+i）在复平面内对应的点位于实轴上，则a=_______________。 （10）在的展开式中，的系数为__________________.（用数字作答） （11）在极坐标系中，直线 则 =____________________. （12）已知为等差数列，为其前n项和，若（13）双曲线
与圆 ，
交于A，B两点， ，则
.
的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B
为该双曲线的焦点。若正方形OABC的边长为2，则a=_______________. （14）设函数
①若a=0，则f(x)的最大值为____________________；
②若f(x)无最大值，则实数a的取值范围是_________________。
三、解答题（共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程） （15）（本小题13分）
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在?ABC中，a?c?b?2ac （I）求?B 的大小
（II）求2cosA?cosC 的最大值 （16）（本小题13分）A、B、C三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表（单位：小时）； 6 6.5 7 7.5 8 A班 B班 C班 6 7 8 9 10 11 12 3 4.5 6 7.5 9 10.5 12 13.5 333（I） 试估计C班的学生人数； （II） 从A班和C班抽出的学生中，各随机选取一人，A班选出的人记为甲，C班选出的人记为乙，假设所有学生的锻炼时间相对独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；
（III）再从A、B、C三个班中各随机抽取一名学生，他们该周的锻炼时间分别是7，9，8.25（单位：小时），这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记 ，表格中数据的平均数记为 ，试判断 和的大小，（结论不要求证明）
（17）（本小题14分）
如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD? 平面ABCD，PA?PD ,PA=PD,AB?AD,AB=1,AD=2,AC=CD=5 ,
（I）求证：PD?平面PAB;
（II）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；
（II I）在棱PA上是否存在点M，使得BMll平面PCD?若存在，求
（18）（本小题13分）
AM 的值；若不存在，说明理由。 AP设函数f(x)=xeea?x +bx，曲线y=f(x)d hko (2,f(2))处的切线方程为y=(e-1)x+4， （I）求a,b的值；
(I I) 求f(x)的单调区间。
（19）（本小题14分）
X2y23已知椭圆C：2?2?1 （a>b>0）的离心率为 ，A（a,0）,B(0,b)，O（0，0），△OAB的面积为1.
2ab（I）求椭圆C的方程；
(I I)设P的椭圆C上一点，直线PA与Y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N。 求证：lANlg lBMl为定值。
（20）（本小题13分）
设数列A：a1 ，a2 ,…aN (N≥2)。如果对小于n(2≤n≤N)的每个正整数k都有ak ＜an ，则称n是数列A的一个“G时刻”。记“G（A）是数列A 的所有“G时刻”组成的集合。 （I）对数列A：-2，2，-1，1，3，写出G（A）的所有元素； (I I)证明：若数列A中存在an使得an>a1，则G（A）? ? ；
(I I I）证明：若数列A满足an-an?1 ≤1（n=2,3, …,N）,则G（A）的元素个数不小于aN -a1。
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普通高等学校招生全国统一考试 数学（理）（北京卷）参考答案
一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）
（1）C （2）C （3）B （4）D （5）C （6）A （7）A （8）B 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） （9）?1 （10）60 （11)2 （12）6
（13）2 （14）2 (??,?1) 三、解答题（共6小题，共80分） （15）（共13分）
a2?c2?b22ac2??解：（Ⅰ）由余弦定理及题设得cosB?.
2ac2ac2又因为0??B??，所以?B?（Ⅱ）由（Ⅰ）知?A??C??4.
3?. 43?2cosA?cosC?2cosA?cos(?A)
42222??2cosA?cosA?sinA?cosA?sinA?cos(A?),
222243??因为0??A?，所以当?A?时，2cosA?cosC取得最大值1.
44（16）（共13分）
解：（Ⅰ）由题意知，抽出的20名学生中，来自C班的学生有8名.根据分层抽样方法，C班的学生人数估
8?40. 20（Ⅱ）设事件Ai为“甲是现有样本中A班的第i个人”，i?1,2,???,5， 事件Cj为“乙是现有样本中C班的第j个人”，j?1,2,???,8，
计为100?11，i?1,2,???,5；P(Cj)?，j?1,2,???,8. 58111,i?1,2,???,5,j?1,2,???,8. P(AiCj)?P(Ai)P(Cj)??5840设事件E为“该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长”.由题意知， E?A1C1?A1C2?A2C1?A2C2?A2C3?A3C1?A3C2?A3C3?
由题意可知，P(Ai)?A4C1?A4C2?A4C3?A5C1?A5C2?A5C3?A5C4
因此
P(E)?P(A1C1)?P(A1C2)?P(A2C1)?P(A2C2)?P(A2C3)?P(A3C1)?P(A3C2)?P(A3C3)13?1??0. ?P(A4C1)?P(A4C2)?P(A4C3)?P(A5C1)?P(A5C2)?P(A5C3)?P(A5C4)?15??（Ⅲ）408（17）（共14分） 解：（Ⅰ）因为平面PAD?平面ABCD，AB?AD， 所以AB?平面PAD. 所以AB?PD. 又因为PA?PD， 所以PD?平面PAB.
（Ⅱ）取AD的中点O，连结PO,CO.
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