2020高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第5节指数函数课时分层训练0

课时分层训练(七) 指数函数

A组 基础达标 (建议用时：30分钟)

一、选择题 1．函数f(x)＝2

|x－1|

的大致图象是( )

A B C D

2，x≥1，??

B [f(x)＝??1?x－1

??，x＜1.???2?

x－1

所以f(x)的图象在[1，＋∞)上为增函数，在(－∞，1)上为减函数．]

?3??2??2?2．(2016·台州市一模)已知a＝??，b＝??，c＝??，则( )

?5??5??5?

A．a＜b＜c C．c＜a＜b

B．c＜b＜a D．b＜c＜a

32?2?xD [∵y＝??为减函数，＞，∴b＜c.

55?5?32

又∵y＝x在(0，＋∞)上为增函数，＞，

55∴a＞c，∴b＜c＜a，故选D.]

3．已知函数f(x)＝a，其中a＞0，且a≠1，如果以P(x1，f(x1))，Q(x2，f(x2))为端点的线段的中点在y轴上，那么f(x1)·f(x2)等于( )

A．1 C．2

B．a D．a

2

x 1

A [∵以P(x1，f(x1))，Q(x2，f(x2))为端点的线段的中点在y轴上， ∴x1＋x2＝0. 又∵f(x)＝a，

∴f(x1)·f(x2)＝ax1·ax2＝ax1＋x2＝a＝1，故选A.]

0

x?1?2x－x2的值域为( )

4．函数y＝??

?2??1?A.?，＋∞? ?2??1?C.?0，? ?2?

A [∵2x－x＝－(x－1)＋1≤1，

2

2

1??B.?－∞，? 2??D．(0,2]

?1?t又y＝??在R上为减函数，

?2??1?2x－x2≥?1?1＝1， ∴y＝???2?2

?2????1?即值域为?，＋∞?.] ?2?

1?????2?x－7，x＜0，

5．设函数f(x)＝???

??x，x≥0，A．(－∞，－3) C．(－3,1)

若f(a)＜1，则实数a的取值范围是( )

B．(1，＋∞)

D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)

?1?a?1?a?1?aC [当a＜0时，不等式f(a)＜1可化为??－7＜1，即??＜8，即??＜

?2??2??2??1?－3，

?2???

1

因为0＜＜1，所以a＞－3，此时－3＜a＜0；

2当a≥0时，不等式f(a)＜1可化为a＜1， 所以0≤a＜1.

故a的取值范围是(－3,1)．] 二、填空题 6．计算：

＝________. 【导学号：51062039】

2

2 [原式＝

7．已知函数f(x)＝4＋a0

＝2.]

x－1

的图象恒过定点P，则点P的坐标是________．

(1,5) [由f(1)＝4＋a＝5知，点P的坐标为(1,5)．]

??f1

8．已知函数f(x)＝2－x，函数g(x)＝?

2?f?

xx，x≥0，

－x，x＜0，

则函数g(x)的最小值是

________. 【导学号：51062040】

1x0 [当x≥0时，g(x)＝f(x)＝2－x为单调增函数，所以g(x)≥g(0)＝0；当x＜0时，

2

g(x)＝f(－x)＝2－x－

三、解答题 9．求不等式a1

所以g(x)＞g(0)＝0，所以函数g(x)的最小值是0.] －x为单调减函数，

2

2x－7

＞a4x－1

(a＞0，且a≠1)中x的取值范围．

[解] 设y＝a(a＞0且a≠1)， 若0＜a＜1，则y＝a为减函数， ∴a2x－7

xx＞a4x－1

?2x－7＜4x－1，

解得x＞－3；5分

若a＞1，则y＝a为增函数， ∴a2x－7

x＞a4x－1

?2x－7＞4x－1，解得x＜－3.10分

综上，当0＜a＜1时，x的取值范围是(－3，＋∞)； 当a＞1时，x的取值范围是(－∞，－3).15分 1

10．已知函数f(x)＝x＋a是奇函数．

2－1(1)求a的值和函数f(x)的定义域； (2)解不等式f(－m＋2m－1)＋f(m＋3)＜0. [解] (1)因为函数f(x)＝

x2

2

11

＋a是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，即－x＋a＝2－12－1

xx11－a2＋aa·2＋1－a1＝，从而有1－a＝a，解得a＝.4分 x－a，即xx1－21－21－22

又2－1≠0，所以x≠0，故函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞).7分 (2)由f(－m＋2m－1)＋f(m＋3)＜0，得f(－m＋2m－1)＜－f(m＋3)，因为函数f(x)为奇函数，所以f(－m＋2m－1)＜f(－m－3).12分

由(1)可知函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数，从而在(－∞，0)上是减函数，又－m＋2m－1＜0，－m－3＜0，所以－m＋2m－1＞－m－3，解得m＞－1，所以不等式的解集为(－1，＋∞).15分

3

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

xB组 能力提升 (建议用时：15分钟)

?1?a?1?b1．已知实数a，b满足等式??＝??，下列五个关系式：①0＜b＜a；②a＜b＜0；③0

?2??3?

＜a＜b；④b＜a＜0；⑤a＝b＝0.其中不可能成立的关系式有( )

A．1个 C．3个

B．2个 D．4个

?1?x?1?x?1?a?1?bB [函数y1＝??与y2＝??的图象如图所示．由??＝??得a＜b＜0或0＜b＜a或a?2??3??2??3?

＝b＝0.

故①②⑤可能成立，③④不可能成立．]

2．(2017·金华十校第一次联考)已知max{a，b}表示a，b两数中的最大值．若f(x)＝max{e，e

|x|

|x－2|

}，则f(x)的最小值为________. 【导学号：51062041】

x??e，x≥1，|x||x－2|

e [由于f(x)＝max{e，e}＝?|x－2|

?e，x＜1.?

当x≥1时，f(x)≥e，且当x＝1时，取得最小值e； 当x＜1时，f(x)＞e. 故f(x)的最小值为f(1)＝e.] 3．已知f(x)＝?

?x1＋1?x3(a＞0，且a≠1)．

?

?a－12?

(1)讨论f(x)的奇偶性；

(2)求a的取值范围，使f(x)＞0在定义域上恒成立. 【导学号：51062042】 [解] (1)由于a－1≠0，则a≠1，得x≠0， ∴函数f(x)的定义域为{x|x≠0}.2分

4

xx对于定义域内任意x，有

f(－x)＝?

?1a－x－1＋12??

(－x)3??

x＝??a?1－ax＋12???

(－x)3 ＝??1?

－1－ax－1＋12???

(－x)3

＝?

?11?ax－1＋2??

?

x3＝f(x)． ∴f(x)是偶函数.8分

(2)由(1)知f(x)为偶函数，∴只需讨论x＞0时的情况．当x＞0时，要使f(x)＞0，即?

?11?ax－1＋2??

?

x3＞0，

x即11a＋1ax－1＋2＞0，即2ax－1＞0，12分 即ax－1＞0，ax＞1，ax＞a0

.又∵x＞0，∴a＞1. 因此a＞1时，f(x)＞0.15分 5