高考数学二轮复习 专题九 解析几何 第4讲 圆锥曲线的综合问题专题强化训练 理

（通用版）2016年高考数学二轮复习 专题九 解析几何 第4讲 圆

锥曲线的综合问题专题强化训练 理

(时间：45分钟 满分：60分)

22

1.如图，已知抛物线C：y＝2px(p>0)和⊙M：(x－4)＋y＝1，过抛物线C上一点H(x0，y0)(y0≥1)作两条直线与⊙M相切于A，B17

两点，分别交抛物线于E，F两点，圆心M到抛物线准线的距离为.

4

(1)求抛物线C的方程；

(2)当∠AHB的角平分线垂直于x轴时，求直线EF的斜率．

p17

解：(1)∵点M到抛物线准线的距离为4＋＝，

24

12

∴p＝，即抛物线C的方程为y＝x.

2

(2)∵当∠AHB的角平分线垂直于x轴时，点H(4，2)， ∴kHE＝－kHF.

设E(x1，y1)，F(x2，y2)， 2－y12－y2∴＝－， 4－x14－x22－y12－y2∴2＝－2， 4－y14－y2∴y1＋y2＝－4，

y2－y1y2－y111

∴kEF＝＝22＝＝－.

x2－x1y2－y1y2＋y14

2

2．已知过点A(－4，0)的动直线l与抛物线G：x＝2py(p>0)相交于B，C两点．当直

1→→

线l的斜率是时，AC＝4AB.

2

(1)求抛物线G的方程；

(2)设线段BC的中垂线在y轴上的截距为b，求b的取值范围．

11

解：(1)设B(x1，y1)，C(x2，y2)，当直线l的斜率是时，直线l的方程为y＝(x＋4)，

22

即x＝2y－4.

2??x＝2py8＋p2

联立?得2y－(8＋p)y＋8＝0，y1＋y2＝，y1y2＝4.

2?x＝2y－4?

→→

由已知AC＝4AB得y2＝4y1.

2

由根与系数的关系可得y1＝1，y2＝4，p＝2，所以抛物线G的方程为x＝4y. (2)设l：y＝k(x＋4)，BC中点坐标为(x0，y0)，

2??x＝4y，2由?得x－4kx－16k＝0， ?y＝k（x＋4）?

由Δ>0得k<－4或k>0.

xB＋xC2

∴x0＝＝2k，y0＝k(x0＋4)＝2k＋4k，

2

1

BC的中垂线为y－2k2－4k＝－(x－2k)，

2

k∴b＝2(k＋1)，∴b>2.

2

x2y2

3．设椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，且焦距为6，点P是椭圆

ab

短轴的一个端点，△PF1F2的周长为16.

(1)求椭圆C的方程；

4

(2)求过点(3，0)且斜率为的直线l被椭圆C所截得的线段中点的坐标．

5

解：(1)设椭圆的半焦距为c，则由题意，

???2c＝6，?a＝5，22222

可得?解得?所以b＝a－c＝5－3＝16.

?2a＋2c＝16，?c＝3，??

故所求椭圆C的方程为＋＝1.

2516

44

(2)法一：过点(3，0)，且斜率为的直线l的方程为y＝(x－3)，

55

22x（x－3）

将之代入C的方程，得＋＝1，

2525

2

即x－3x－8＝0.

因为点(3，0)在椭圆内，设直线l与椭圆C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，

x1＋x23

因为x1＋x2＝3，所以线段AB中点的横坐标为＝，

22

436

纵坐标为×(－3)＝－. 525

36

故所求线段的中点坐标为(，－)．

2544

法二：过点(3，0)且斜率为的直线l的方程为y＝(x－3)，

55

因为(3，0)在椭圆内，

所以直线l与椭圆有两个交点，设两交点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，中点M的坐

x2y2

??25＋16＝1，①

标为(x，y)，则有?

xy??25＋16＝1，②

0

0

2

2

22

x21y21

（x1－x2）（x1＋x2）

由①－②，得

25

（y1－y2）（y1＋y2）＝－，

16

16x04即＝－. 25y05

4

又y0＝(x0－3)．

5

3x0＝，236

所以故所求线段的中点坐标为(，－)．

256

y0＝－.5

?????

x2y2

4．已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，其上顶点为A.若△F1AF2

ab是边长为2的正三角形．

(1)求椭圆C的方程；

→→

(2)过点Q(－4，0)任作一动直线l交椭圆C于M，N两点，记MQ＝λQN.若在线段MN上

→→

取一点R，使得MR＝－λRN，当直线l运动时，点R在某一定直线上运动，求出该定直线的方程．

解：(1)因为△F1AF2是边长为2的正三角形， 所以c＝1，a＝2，b＝3，

所以椭圆C的方程为＋＝1.

43

(2)由题意知，直线MN的斜率必存在，

设其方程为y＝k(x＋4)，并设M(x1，y1)，N(x2，y2)．

x2y2

xy??＋＝12222由?43，消去y得(3＋4k)x＋32kx＋64k－12＝0， ??y＝k（x＋4）

－32k64k－12则Δ＝144(1－4k)>0，x1＋x2＝，x·x＝1222. 3＋4k3＋4k→→

由MQ＝λQN，得－4－x1＝λ(x2＋4)，

x1＋4

故λ＝－.

x2＋4

设点R的坐标为(x0，y0)，

→→则由MR＝－λ·RN，

得x0－x1＝－λ(x2－x0)，

x1＋4x1＋·x2

x2＋4x1－λx2

得x0＝＝

1－λx1＋4

1＋

x2＋4－24

22x1x2＋4（x1＋x2）3＋4k＝＝＝－1，

（x1＋x2）＋824

2

3＋4k故点R在定直线x＝－1上．

222

5．已知抛物线E：y＝2px(p>0)的准线与x轴交于点M，过点M作圆C：(x－2)＋y＝1

42

的两条切线，切点为A，B，|AB|＝.

3

(1)求抛物线E的方程；

(2)由抛物线E上的点N作圆C的两条切线，切点分别为P，Q，若P，Q，O(O为原点)三点共线，求点N的坐标．

2

2

2

22

解：(1)由已知得M(－，0)，C(2，0)．

2

p

设AB与x轴交于点R，如图，由圆的对称性可知，

22|AR|＝.

3

122

于是|CR|＝|AC|－|AR|＝，

3

|AC|

所以|CM|＝

sin∠AMC|AC|＝＝3， sin∠CAR即2＋＝3，p＝2.

2

2

故抛物线E的方程为y＝4x.

p(2)如图，设N(s，t)．

易知P，Q是以NC为直径的圆D与圆C的两交点．

s＋22t2（s－2）2＋t2

圆D的方程为(x－)＋(y－)＝，

224

22

即x＋y－(s＋2)x－ty＋2s＝0.①

22

又圆C的方程为x＋y－4x＋3＝0.②