2017-2018学年高中数学 第一章 基本初等函数(Ⅱ)复习课(一)任意角的三角函数及三角恒等变换

复习课(一) 任意角的三角函数及三角恒等变换

三角函数的定义

(1)题型多以选择题、填空题为主，一般难度较小．主要考查三角函数的定义的应用，多与求三角函数值或角的大小有关．

(2)若角α的终边上任意一点P(x，y)(原点除外)，r＝|OP|＝x＋y，则sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0)．

2

2

yrxryx?π?[典例] 已知角α的终边过点P(－3cos θ，4cos θ)，其中θ∈?，π?，则sin α?2?

＝________，tan α＝________.

[解析] ∵θ∈?

?π，π?，∴cos 2222θ＜0，∴r＝x＋y＝9cosθ＋16cosθ＝－5cos ?

?2?

y4y4

θ，故sin α＝＝－，tan α＝＝－. r5x3

44

[答案] － － 53[类题通法]

利用三角函数定义求函数值的方法

当已知角的终边所经过的点或角的终边所在的直线时，一般先根据三角函数的定义求这个角的三角函数值，再求其他．但当角经过的点不固定时，需要进行分类讨论．

求与正切函数有关问题时，不要忽略正切函数自身的定义域．

[题组训练]

5π??5π

1．已知角α的终边上一点的坐标为?sin，cos?，则角α的最小正值为( )

66??A.C.

5π

65π 3

B.D.2π 311π

6

解析：选C 由三角函数的定义知：

5ππ3cos－cos－662

tan α＝＝＝＝－3.

5ππ1sinsin 6625π5π

又sin ＞0，cos ＜0.

66

5π

所以α是第四象限角，因此α的最小正值为.

3

2．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos 2θ＝( )

4A．－ 53C. 5

3

B．－

5

4D. 5

解析：选B 在角θ的终边上任取一点P(a,2a)(a≠0)． 则r＝|OP|＝a＋(2a)＝5a.

2

2

2

2

2

a21

所以cos θ＝2＝，

5a5

2

232

cos 2θ＝2cos θ－1＝－1＝－.

55

3．若θ是第四象限角，则点P(sin θ，tan θ)在第________象限． 解析：因θ是第四象限角，则sin θ＜0，tan θ＜0， ∴点P(sin θ，tan θ )在第三象限． 答案：三

同角三角函数间的基本关系及诱导关系 (1)题型既有选择题、填空题，又有解答题．主要考查三角函数式的化简与求值，利用公式进行恒等变形以及基本运算能力．

sin α22

(2)①牢记两个基本关系式sinα＋cosα＝1及＝tan α，并能应用两个关系式

cos α进行三角函数的求值、化简、证明．

π

②诱导公式可概括为k ·±α(k∈Z)的各三角函数值的化简公式．记忆规律是：奇

2

2

π

变偶不变，符号看象限．其中的奇、偶是指的奇数倍或偶数倍，变与不变是指函数名称的2变化．

2＋

[典例] 已知

1＋值．

2＋tan θ

[解] 法一：由已知＝－4，

1－tan θ∴2＋tan θ＝－4(1－tan θ)， 解得tan θ＝2.

∴(sin θ－3cos θ)(cos θ－sin θ ) ＝4sin θcos θ－sinθ－3cosθ 4sin θcos θ－sinθ－3cosθ＝ 22

sinθ＋cosθ4tan θ－tanθ－38－4－31＝＝＝. 2

tanθ＋14＋152＋tan θ

法二：由已知＝－4，

1－tan θ解得tan θ＝2. 即

sin θ

＝2，∴sin θ＝2cos θ. cos θ

2

2

2

2

2

θ－ππ－θ

＝－4，求(sin θ－3cos θ)·(cos θ－sin θ)的

∴(sin θ－3cos θ)(cos θ－sin θ) ＝(2cos θ－3cos θ)(cos θ－2cos θ) cosθ11

＝cosθ＝＝2＝. 22sinθ＋cosθtanθ＋15

2

2

[类题通法]

三角函数式的求值、化简、证明的常用技巧

(1)化弦：当三角函数式中三角函数名称较多时，往往把三角函数化为弦，再化简变形． (2)化切：当三角函数式中含有正切及其他三角函数时，有时可将三角函数名称都化为正切，再变形化简．

(3)“1”的代换：在三角函数式中，有些会含有常数1，常数1虽然非常简单，但有些三角函数式的化简却需要利用三角函数公式将“1”代换为三角函数式．

[题组训练]

3

3π?5??π?1．若sin(π－α)＝－3且α∈??π，2??，则sin??2＋α??

＝( ) A．－23 B．－6

6

C.66

D.23

解析：选A sin(π－α)＝sin α＝－

53，又α∈???

π，3π2???， 所以sin??π??2＋α??

＝cos α＝－1－sin2α

＝－ 1－－

522

3＝－3

. 2．如果tan θ＝2，那么1＋sin θcos θ＝ ( ) A.7

3 B.75 C.54

D.53

解析：选B 1＋sin θcos θ＝1＋sin θcos θ

1

sin2

θ＋cos2

＝θ＋sin θcos θsin2θ＋cos2

θ 2＝tanθ＋tan θ＋1tan2

θ＋1， 又tan θ＝2，

2

所以1＋sin θcos θ＝2＋2＋17

22＋1＝5. 3．计算：sin 4π?25π?3cos??－6??

＝________.

解析：因为sin 4π?π?π33＝sin??

π＋3??＝－sin 3＝－2，

cos??25π?－6???＝cos25π6＝cos???4π＋π6???

＝cosπ6＝32，

所以sin 4π?25π?3cos??－

6??

＝－32×32＝－34. 4