2012年高考真题汇编——文科数学(解析版)5：数列

28.【2012高考安徽文21】（本小题满分13分） 设函数f（x）=

x+sinx的所有正的极小值点从小到大排成的数列为{xn}. 2（Ⅰ）求数列{xn}的通项公式；

（Ⅱ）设{xn}的前n项和为Sn，求sinSn。 【答案】

x12??sinx?f?(x)??cosx?0?x?2k??(k?Z)， 2232?2?f?(x)?0?2k???x?2k??(k?Z)，

332?4?f?(x)?0?2k???x?2k??(k?Z)，

332?得：当x?2k??(k?Z)时，f(x)取极小值，

32?得：xn?2n??。

32?（II）由（I）得：xn?2n??。

32n?2n?。 Sn?x1?x2?x3??xn?2?(1?2?3??n)??n(n?1)??33【解析】（I）f(x)?当n?3k(k?N)时，sinSn?sin(?2k?)?0， 当n?3k?1(k?N)时，sinSn?sin**2?3?， 324?3??， 32当n?3k?2(k?N)时，sinSn?sin**得： 当n?3k(k?N)时，sinSn?0， 当n?3k?1(k?N)时，sinSn?*3， 2 - 13 -

当n?3k?2(k?N)时，sinSn??*3。 2 - 14 -

【2012高考上海文23】（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分

对于项数为m的有穷数列?an?，记bk?max?a1,a2,...,ak?（k?1,2,...,m），即bk为

a1,a2,...,ak中的最大值，并称数列?bn?是?an?的控制数列，如1，3，2，5，5的控制数列是

1，3，3，5，5

（1）若各项均为正整数的数列?an?的控制数列为2，3，4，5，5，写出所有的?an? （2）设?bn?是?an?的控制数列，满足ak?bm?k?1?C（C为常数，k?1,2,...,m），求证：

bk?ak（k?1,2,...,m）

?1?2（3）设m?100，常数a??,1?，若an?an?(?1)?2?(b1?a1)?(b2?a2)?...?(b100?a100)

【

答

n(n?1)2n，?bn?是?an?的控制数列，求

案】

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【2012高考广东文19】（本小题满分14分）

2*设数列?an?前n项和为Sn，数列?Sn?的前n项和为Tn，满足Tn?2Sn?n，n?N.

（1）求a1的值；

（2）求数列?an?的通项公式. 【答案】

【解析】（1）当n?1时，T1?2S1?1。

因为T1?S1?a1，所以a1?2a1?1，求得a1?1。

22（2）当n?2时，Sn?Tn?Tn?1?2Sn?n?[2Sn?1?(n?1)]?2Sn?2Sn?1?2n?1，

所以Sn?2Sn?1?2n?1 ① 所以Sn?1?2Sn?2n?1 ② ②?①得 an?1?2an?2， 所以an?1?2?2(an?2)，即

an?1?2?2(n?2)，

an?2a2?2?2。 a1?2 求得a1?2?3，a2?2?6，则

所以?an?2?是以3为首项，2为公比的等比数列，

n?1 所以an?2?3?2，

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