第1讲 集合(含答案)

可以给一些数学上的小例子：

3}，B?{4，5，6}，则A例：⑴A?{1，2，B?{1，2，3，4，5，6}；

B?Z

⑵A?{x|x?2k，k?Z}表示所有偶数，B?{x|x?2k?1，k?Z}表示所有奇数，则A为所有整数；

k?Z}，则AB?{x|x?2k?1，k?Z}． ⑶A?{x|x?4k?1，k?Z}，B?{x|x?4k?3，

在并的运算过程中，注意元素相同的只需要考虑一个就行，不能重复出现，这是由集合中元素的互异性决定的．

3}，B?{2，3，4}时，A例A?{1，2，B?{1，2，3，4}；A?Z，B?N，则AB?B．

B?Z；

我们可以注意到AA?A，A??A，若A?B，则A有了并的运算后，很多写法就非常简单了，如x2?3x?2?0的解集可以写成{x|x?1或x?2}，可1)(2，??)． 以用区间与并集符号写成(??，

2．并集：对于两个给定的集合A、B，由两个集合所有元素构成的集合叫做A与B的并集，记作

“AB”．

集合AB用符号语言表示为AB??x|x?A或x?B?;

用维恩（Venn）图表示如下：

补集的引入

一般情况下，把我们所描述对象的所有全体当作一个对象，这个对象就是全集．

把在全集U中不属于A的那些元素构成的集合，叫到A在U中的补集，直观上，就是从U中把A挖掉剩下的部分．如：U?{我们班同学}，A?{我们班男生}，A的补集就是{我们班女生}；U?{我们班人}，A?{我们班同学}，A的补集就是{老师}．

或

或

A在U中的补集记为eUA．

3}，则e3，4，5}，A?{1，2，5}； 例：U?{1，2，UA?{4，eZN就是所有的负整数；eRQ就是所有的无理数； A?{x|x?2k?1，k?Z}，则eZA?{x|x?2k，k?Z}；

A?[?5，5]，B?[0，1]，eAB?[?5，0)(1，5]．

3．补集：

①全集：如果所研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集，常用U表示． ②补集：如果给定集合A是全集U的一个子集，由U中不属于A的所有元素构成的集合，叫做A在

U中的补集，记作“eUA”．读作“A在U中的补集”． 且x?A?． A在U中的补集的数学表达式是eUA??x|x?U，用维恩（Venn）图表示：

【例题】用集合的运算表示下面阴影部分的集合．

AUABUABBU⑴⑵ ⑶

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【解析】 ⑴eU(AB)或痧UA(BUB；

⑵A(eUB)； ⑶(A痧UB)UA)．也可以用eAB(AB)表示．

读图可以：公共部分——交集；去掉谁——取谁的补集． 这样可以轻松得到更多集合的交集．

A如：

BCU可以表示成ABeUC．

【例7】 ⑴（2008年北京理科卷1）已知全集U?R，集合A??x|?2≤x≤3?， B??x|x??1或x?4?，

那么集合AeUB等于（ ）

A．?x|?2≤x≤4? B．?x|x≤3或x≥4? C．?x|?2≤x??1? D．?x|?1≤x≤3?

1??⑵（2009年北京文科卷1）设集合A??x|??x?2?，B??x|x2≤1?，则A2??1??A．?x|?1≤x?2? B．?x|??x≤1?

2??B?（ ）

经典精讲

C．?x|x?2? D．?x|1≤x?2?

⑶（2010北京理1）集合P??x?Z|0≤x?3??M?x?R|x2≤9，则P⑷（2011北京理1）已知集合P?x|x2≤1，M??a?，若P??M?（ ）

A．?1?2? B．?0?1?2? C．?x|0≤x?3? D．?x|0≤x≤3?

??M?P，则a的取值范围是

（ ）

A．???，?1? B．?1，??? C．??1，1? D．???，?1?【解析】 ⑴D；⑵A；⑶B；⑷C．

?1，???

但我们会在下一讲安排一元二次不等式解法的初高衔接内容，这里不希望涉及到太多的解一元二次方程的内容，但为了完整，我们将2012年北京高考题放在下面：

⑸（2012北京理1）已知集合A??x?R|3x?2?0?，B??x?R|?x?1??x?3??0?， 则AB?（D）

2???2????A．???，?1? B．??1，?? C．??，3? D．?3， 33????

【例8】 ⑴

B?{x|x2?2(a?1)x?(a2?5)?0}，若AB?{2}，求实数 集合A?{x|x2?3x?2?0}，a的值；

B?{x|x2?3x?2?0}，且AB?B，求实数a的值． ⑵集合A?{x|ax?1?0}，1，2． ⑵ 实数a的值为0，【解析】 ⑴ a??1或a??3．

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【备选】（复旦大学2006年自主招生考试）若非空集合X?{x|a?1≤x≤3a?5}，Y?{x|1≤x≤16}，

则使得X?XY成立的所有a的集合是（ ）

A．{a|0≤a≤7} B．{a|3≤a≤7} C．{a|a≤7} D．空集 【解析】 B；

**************************************************************************************** 这里补充一个初高衔接的内容：因式分解

因式分解是一种研究问题的手段，把一个多项式化成几个整式的积的形式，如将

，这与代数的核心目的是一样的，代数的核心目的是降次或消元，x2?3x?2?(x?1)(x?2)因式分解的主要目的是降次．

<教师备案>初中学过完全平方公式a2?2ab?b2?(a?b)2；平方差公式：a2?b2?(a?b)(a?b)．这些

学生比较熟悉，我们不再安排例题．对二次多项式，另一种常用的因式分解方式是十字相乘，这是这里练习的重点．

【例题】将下列关于x的代数式进行因式分解

⑴2x2?x?6；⑵6x2?x?15；⑶x2?ax?(a?1)；⑷ax2?(1?2a)x?a?1(a?0)． 【解析】 ⑴(x?2)(2x?3)；⑵(3x?5)(2x?3)；⑶(x?1)(x?a?1)；⑷(x?1)(ax?1?a)．

【练习】将下列关于x的代数式进行因式分解：⑴6x2?x?1；⑵ax2?(a?1)x?1（a?0）． 【解析】 ⑴(2x?1)(3x?1)；⑵(x?1)(ax?1)．

对于更高次的多项式，高中需要掌握的因式分解方式是通过猜根进行分解，通常猜根?1，?2．猜根后可以通过多式的除法（又称长除法）得到分解后的式子． 更多的高次多项式的因式分解技巧，如分组分解、添加项等不作一般要求．

【例题】将下列代数式因式分解

⑴x3?7x?6；⑵2x3?7x2?4x?4．

【解析】 ⑴ x3?7x?6?(x?1)(x2?x?6)?(x?1)(x?3)(x?2)；

⑵ 2x3?7x2?4x?4?(x?2)(2x2?3x?2)?(x?2)2(2x?1)．

【练习】将x3?3x2?3x?2因式分解． x3?3x2?3x?2?(x?2)(x2?x?1)． 【解析】

【拓展】将x5?x4?x3?x2?x?1因式分解．

【解析】 原式?(x?1)(x2?x?1)(x2?x?1)．

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已知集合M?x?x?a??x2?ax?a?1??0各元素之和等于3，则实数a的值为 ．

??3 2【点评】忽略集合的互异性，由M?x?x?a??x?1??x??a?1???0直接得到M??a?1，1，a?， a?2或【解析】

??∴2a?3?a?

3．漏解a?2，此时a?1?1． 2

实战演练

【演练1】

用最恰当的符号（?，?，茌，，?，?）填空

⑴?___{0}； ⑵2___{(1,2)}； ⑶0___{x|x2?2x?5?0} 5}____{x|x2?8x?15?0}； ⑸{3，5}___N； ⑷{3，??N} ⑹{x|x?2k，k?N}______{x|x?6?，⑺{x|x?4k?1，k?Z}____{x|x?4k?3，k?Z}．

【解析】 ⑴ü；⑵ ?； ⑶?； ⑷?； ⑸ü ；⑹Y；⑺?．

3}，用列举法表示下面集合 【演练2】已知集合A?{1，2，b)|a?A，b?A，a?b?A}． b)|a?A，b?A}；⑵N?{(a，⑴M?{(a，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)}； 【解析】 ⑴M?{(1，1)，(3，1)，(3，2)}． ⑵N?{(2，

【演练3】

已知M?y|y?x2?1，则集合M与P的关系是（ ） a?R?，x?R，P??x|x?a?1，??A．M?P B．P?M C．MüP D．MYP

【解析】 A；

【演练4】

⑴ 已知A?{y|y?x2?4x?3，x?R}，B?{(x，y)|y??x2?2x?2，x?R}，则A等于（ ）

A．? B．{(?1,3)} C．R D．[?1，3]

B

⑵ 已知A?{y|y?x2?4x?3,x?R}，B?{y|y??x2?2x?2,x?R}，则AA．? B．{?1,3} C．R D．[?1，3] ⑶已知A??x，y?|y?x2?4x?3,x?R，B?B等于（ ）

B等

????x，y?|y??x2?2x?2,x?R?，则A于（ ）

A．? B．{(?1,3)} C．R D．[?1，3]

【解析】 ⑴ A；

⑵D ⑶ A． 16

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