第1讲 集合(含答案)

这里补充一个初高衔接的内容：配方法（学生版不出现，课件出现，以后同）

配方法是针对二次函数或者换元后是二次函数的函数求取值范围或最大最小值常用的一种方法，是高中需要熟练掌握的一种方法．

【例题】求出下列函数的最大值、最小值和对应的x值．

⑴y?2x2?4x?1；⑵y??2x2?6x?1；

⑶y?2x2?4x?1，?2≤x≤2；⑷y??2x2?6x?1，?1≤x≤2．

【解析】 ⑴最小值为?3，x??1；无最大值；

113⑵最大值为，此时x?；无最小值；

22⑶当x??1时，有最小值为?3；当x?2时，有最大值15；

311⑷当x?，有最大值；当x??1时，有最小值?7．

22

【练习】求下列函数的最值：⑴y?2x2?x?1，?1≤x≤1；⑵y??x2?2x?7，?2≤x≤1．

7【解析】 ⑴最小值为，最大值为4；

8⑵最大值为?6，最小值为?10．

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集合的关系引入

我们研究问题的轨迹通常是从特殊到一般，从单个到多个．前面研究的都是单个集合，下面要研究的是集合间的关系．首先，并不是所有的集合之间都有关系，如{1，2，3}这个集合与{花果山的猴子}之间可能就没什么关系；实数集R与{市场上所有卖的鸡蛋}之间可能也没什么关系．但有些集合间是有各种各样稀奇古怪的关系的．如{我们班的同学}与{我们班的女同学}就感觉有关系，下面我们就研究一下这些有关系的集合之间的关系：

1.2集合的关系

考点4：子集、真子集与集合相等

知识点睛

1．子集：对于两个集合A，B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说集合A为

集合B的子集，记作A?B（或B?A），读作 “A包含于B”（或“B包含A”）．

规定：?是任意集合的子集．

如果集合A中存在着不是集合B中的元素，那么集合A不包含于B，记作AúB或B?A．

<教师备案> 从一个大的群体中选出一个部分，这个部分就是群体的一个子集．如：A?{我们班同学}，

B?{我们班男同学}，C?{我们班所有戴眼镜的同学}，D?{我们班所有有头发的同

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学}．则B，C，D都是A的一个子集．又{猴子}是{动物}的一个子集；{小孩子}是{人}的一个子集……

?与?的区别：（调侃：一个横杠在里面，一个横杠在外面）

?表示的是集合与集合的关系，左右两边都是集合；?表示的是元素与集合的关系．

子集数学上的严格的定义是：对任意的x?A，都有x?B，则称A是B的子集． 2，3，4}，N?Z?Q?R．意味着，从A里随便拽一个出来，都在B里．如{1，2}?{1，

可以让学生写出{1，2，3}的所有子集．

其中{1，2，3}是不是子集可以重点讲解：由子集的定义：集合{1，2，3}中的任意一个元素都在集合{1，2，3}中，所以A?A．

再强调一下空集是任意集合的子集，写子集先写空集，即??A．

真子集引入

子集分为两类，一类是“相等”关系的子集，另一类是把“相等”关系的子集去掉的子集，称为真子集．可以用韦恩图表示如下．

ABA/BA/BAüB： A?B：

在刚刚的例子中，真子集有7个，就是指一个集合的所有子集中，去掉和它相等的那个．

2．真子集：如果集合A?B，且存在元素x?B，但x?A，我们称集合A是集合B的真子集，

记作AüB（或BYA），读作A真包含于B（B真包含A）． 规定：?是任意非空集合的真子集．

<教师备案> 可以让学生写出{1，2，3}的所有真子集、非空真子集．它们分别比所有子集少一个、两

个集合．而对于一般的子集个数的问题，我们放到同步再讲．

注意：高中数学真子集统一用符号ü表示，在立体几何中的线面关系中，因为线在面内时，线一定是面的真子集，那时会用一个新的符号?表示，在集合的章节里，没有这样的记号．但有时可能会在有些资料中遇到用?表示真子集的情况．

练习5：下列四个命题中正确的有_______．

①空集没有子集；②空集是任何一个集合的真子集；③空集的元素个数为零； ④任何一个集合必有两个或两个以上的子集．

答案：③． 3．集合相等：如果集合A是集合B的子集（A?B），且集合B是集合A的子集（B?A），此时，

集合A与集合B中的元素是一样的，我们说集合A与集合B相等，记作A=B．

<教师备案> 集合相等的定义在理论性证明时比较有用，如对于两个比较抽象的集合，证明两个集合相

等，一般都是通过证明一个集合中的任何一个元素都是另一个集合中的元素得到的．这类问题与已知集合相等求参数的问题我们留到在同步时再讲．

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经典精讲

【例5】 ⑴ 下面关系式中，正确的是_______．

①0?{?}；②?ü{?}；③?ü{0}；④a?{a}；⑤{a}ü{a}；⑥??{a}．

⑵

用茌，，?，?填空：

①{1}______{x|x2?3x?2?0}；②{1，2}______{x|x2?3x?2?0} ③?______{x?R|x2?2?0}；④{x|x?3?2}______{y|y?1?0}；

⑤{(x，y)|y?x2?1}_____{y|y?x2?1}；⑥{x|y?x2?1}_____{y|y?x2?1}；

3}______{(2，3)}． ⑦{(2,3)}______{(3,2)}；⑧{2，【解析】 ⑴②③；

<教师备案> 空集的含义：把集合想象成一个大的塑料袋，空集就是这个塑料袋中什么都没有．但{?}

不再是空集，因为这个塑料袋中还放着一个塑料袋呢．在这个集合中，?是一个元素，但同时?也可以作为一个集合，所以??{?}与?ü{?}都正确．所以?与{?}的关系有很多种不同的说法，理解即可，不必太纠结．

⑵①ü；②?；③?；④Y；⑤?；⑥Y；⑦?；⑧?．

【备注】一般来说，我们只研究有关系的两个集合之间的关系，而数集与点集是两种不同类

型的集合，它们之间一般没有关系，但在概念初学阶段，我们有时会出现这类的题帮助学生更好地理解它们之间的区别．

【例6】 ⑴

n?Z?，Y??y|y?4n?3，n?Z?，L??z|z?8n?1，n?Z?， 若X??x|x?4n?1，则X，Y，L的关系是（ ）

A．X葺YL B．X苘YL C．X?YYL D．X?Y?L

n?Z}，Y?{x|x?2n?1，n?Z}，L?{x|x?4n?1，n?Z}，则⑵若X?{x|x?4n?1，X，Y，L的关系是（ ）

A．X苘Y【解析】 ⑴ C；

⑵B．

L B．XüY?L C．Y苘XL D．X苘LY

集合的运算引入

什么叫运算？

在座的诸位，从小学一年级算起，直到现在，学了九年的数学．若再加上幼儿园，可能时间会更长些，有没有同学一生下来就会数学的？一生下来，你张口不是“哇”，而是“一”，有这样的吗？ ?，?，我们在这么长的学习中，其实很多次都接触到运算，那么我们都学习过哪些运算？?，?，1这叫四则运算；对a求：an，na，a，，?a，也都是运算．到底什么叫运算呢？

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运算最广义的定义是：如果有一个对象或几个对象，你对它/它们进行相应的操作，得到一个新的对象，这个过程就可以理解为运算．

对于今天集合间的运算，我们来学习三种：交运算、并运算、补运算．集合通过这些运算，最终得到一个新的集合，注意运算后的结果仍然是一个集合．

1.3集合的运算

考点5：交集、并集与补集

知识点睛

交集的引入

直观上，现在你有两个集合，这两个集合的公共部分就是一个新的集合，这就是交运算． 例：{我们班所有男生}和{我们班所有戴眼镜的同学}，它们的公共部分就是{我们班所有戴眼镜的男生}，这是一个新的集合，这个过程就是交的运算过程．而{我们班所有的男生}和{我们班所有的女生}，它们的公共部分没有任何元素，就是空集．

A与B的交集用AB表示．

给一些数学上的例子：

3}，B?{2，3，4}，则A例：⑴A?{1，2，B?{2，3}；

B??；

⑵A?Z，B?N，则AB?N；

⑶A?{x|x?2k，k?Z}，B?{x|x?2k?1，k?Z}，则A交集的严格数学定义即：AB??x|x?A且x?B?． 我们可以注意到AA?A，A???，若A?B，则AB?A．

1．交集：对于两个给定的集合A、B，属于A又属于B的所有元素构成的集合叫做A、B的交集，

记作“AB”．

集合AB用符号语言表示为：AB??x|x?A且x?B?，

用维恩（Venn）图表示为：

AB?? AB?B AB为其公共部分

AB

并集的引入

直观上，现在你有两个集合，你把两个集合中的元素放到一块，就得到一个新的集合． 例：{我们班所有男生}和{我们班所有女生}两个集合放一块，就是{我们班所有同学}，这个过程就叫做并的运算过程．

A与B的并集用A

B表示．

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