第1讲 集合(含答案)

<教师备案> 确定性在讲集合的概念时就已经说明了．

互异性是指集合中的元素互不相同，这样给定一个集合，会有一些天然的避讳，有一些默1构成的集合中，一定满足a?1． 认的事实存在，如由a，因为这里没讲集合的表示法，所以元素的性质都需要结合一些实际中的问题进行讲解． 集合的互异性可以通过班上同学举例，如要从班上选出五个同学组队参加一个比赛，这里选出的五个人构成一个集合，这五个人必须是不同的五个人，必须满足互异性，把一个人重复指点五次并不能构成这个集合．

集合无序性是指集合中的元素没有顺序，同样还是上面选出的五个人，把他们的姓名按照姓氏笔画顺序排列，还是按照拼音字母顺序排列，还是按照体重数量排列，都是这五个人．这个集合并没有变化．

经典精讲

【例1】 ⑴ 若x?2，x2，1是一个集合中的三个元素，实数x应满足什么条件？

设x?R，将对象x，?x，x2，?3x3，?4x4，2x4组成集合M，则集合M中元素

最多时有（ ）

A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 ⑶下列叙述中正确的个数是（ ）

①若?a?Z，则a?Z；②若?a?N，则a?N；

③a?Z，若?a?N，则a?N；④a?Z，若a?N，则?a?N． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 ⑵

【解析】 ⑴ x??1且x?2．

⑵ A ⑶ C．

讲完集合的概念与元素的性质之后，我们自然需要知道如何把一个集合与数学的语言表示出来．下面，我们来看看集合的表示法．

考点2：集合的表示法——列举法与描述法

知识点睛

5．集合的表示法

⑴ 列举法：把集合的所有元素都列举出来或列出几个元素作为代表，其它元素用省略号表示，

并写在大括号“{ }”内的表示集合的方法．

3，4，5}，{1，2，3，4，5，}． 例如：{1，2，

【注意】列举法既可以表示有限集（集合中元素个数是有限多个的），也可以表示元素呈现一定规律

1，2，3，，100}，自然数集可以表示的无限集，如不大于100的自然数，可以表示为{0，1，2，3，}． 成{0，有了列举法，我们就很容易将一些语言翻译成集合语言，如方程x2?x?6?0的解集可以写成0)，(2，4)}． {2，?3}；直线y?2x与直线y?x2的交点集合可以写成{(0， 第1讲·目标班教师版

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描述法引入

列举法非常简单直观，一个对象是否在集合中很容易判断，但凡是很简单的方法往往就会有一些问题与局限性，如果一个集合中元素太多，而规律性又不强，这时把所有的元素都列出来，就很难做到了：如世界上所有高度在3000米以上的山峰，《红楼梦》中所有的人物，这两个集合用列举法表示非常困难；而所有大于3的实数构成的集合用列举法就根本表示不出来了．另外，有些集合虽然可以确定，元素个数也不多，但元素是哪些却不容易得到，如班上头发最多的四位同学，这用列举法就很难表示．再比如方程x2?2x?a?0（a为参数）的解．遇到这样的集合，就需要一些新的表示方法．

⑵ 描述法（又称特征性质描述法）：

用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法，形如{x?A|p(x)}，p(x)称为集合的特征性质，x称为集合的代表元素．A为x的范围，有时也写为{x|p(x)，x?A}． 例如：大于3的所有整数用描述法表示为{x?Z|x?3}．

方程x2?x?6?0的实根用描述法表示为{x?R|x2?x?6?0}．

【注意】

①描述法给出了一个客观的标准，用{|集合中描述的元素具有什么特点．

如：{x是山峰｜x的高度在3000米以上}；{x是人物角色|x是《红楼梦》中出现的人}；

{x是人|x是《西游记》中出现的人}，老师讲到此处时，可以调节一下课堂气氛，问一下学生：

}表示，竖线前面表示集合描述的是谁，竖线后面表示

孙悟空在这个集合中吗？不在，他不是人；猪八戒在吗？不在，他也不是人．李世民在吗？在；天篷元帅在吗？……

{x?R|x≥3}，说明集合描述的是实数x，这个实数具有大于等于3的特点．

若元素范围为R，在不致发生误解时，x?R也可以省略，直接写成{x|x≥3}．

但对于集合{x?Z|x≥3}，则x?Z一定不能省略．

②除了数集外，还有一类集合是点集，集合中的元素是点，竖线前面的代表元素为(x，y)． 如：说明集合是点集，点(x，y)满足y?x2，故集合中的点在抛物线y?x2{(x，y)|y?x2，x?R}，上，即此集合表示抛物线y?x2上所有的点．

③描述法需要注意集合描述与字母选取无关，即{x|x?2}与{y|y?2}表示的是同一个集合．字母只是一个代号，是浮云，后面学到函数我们还会强调这一点．就相当于不管你怎么改名字，你还是你．

<教师备案> 在教学用书中有这样的说明：有些集合可以直接写出元素名称，并用花括号括起来表示这

类元素的全体，如用{奇数}表示所有的奇数组成的集合．当成是一种特殊的特征性质描述法．遇到这种写法可以向学生作个说明，但不推荐使用．为了方便起见，在后面的教师备案中，对一些非数学的概念，我们有时会采用这样的一种写法，如用{我们班同学}表示我们班所有同学表示的集合．

练习2：将下列用描述法表示的集合用列举法表示出来：

①A?{x?R|x2?1?0}；②B?{x?Z|x2?1?0}；③C?{x?N|x2?1?0}；

④D?{(x，y)|x2?y2?0}；⑤E?{(x，y)|y?x?1，且y?2x}．

0)}；⑤{(?1，?2)}． 答案： ①{1，?1}；②{1，?1}；③{1}；④{(0， 6

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练习3：用通俗的语言（即自然语言）描述下面集合表示的含义：

??y?x?1???①{x?R|x?2k?1，k?Z}；②{x?R|x?2k，k?Z}；③?(x，y)|??． 2???y?x??答案：①由所有的奇数构成的集合；②由所有的偶数构成的集合；③直线与抛物线的交点．

经典精讲

【例2】 请指出以下几个集合间的区别，有等价集合的写出其等价集合（即给出集合的另一种写法）．

A?{x?R|y?x2?1}，B?{y?R|y?x2?1}，C?{(x，y)|y?x2?1}． 【解析】 A：描述的是实数x，x满足x?R；A?R；

B：描述的是实数y，y?x2?1≥1，B?{y|y≥1}；

C：描述的是点(x，y)，表示抛物线y?x2?1上所有的点．

【例3】 ⑴

3，4}，集合M?{(a，b)|a?A，b?A，a?b?A}，用列举法表示 已知集合A?{1，2，集合M?_________________．

?2010??20102010??N?，a?N?，集合N??|?N?，a?N?，则用列举⑵已知集合M??a|?5?a??5?a5?a?法表示集合M?________，集合N?_______________． ⑶集合A??x|x?2k，k?Z?，B??x|x?2k?1，k?Z?，C??x|x?4k?1，k?Z?，

又a?A，b?B，则有（ ）

A．a?b?A B．a?b?B

C．a?b?C D．a?b不属于A，B，C中任意1个

(2，1)，(1，3)，(3，1)，(1，1)，(2，2)}． 【解析】 ⑴ M?{(1，2)，3，4}，N?{402，670，1005，2010}； ⑵ M?{0，2，⑶ B

【备选】 集合A?(x,y,z)x2?y2?z2?4?xy?3y?2z,x,y,z?R中有（ ）个元素．

??A．0 B．1 C．2 D．无数 【解析】 B

列举法与描述法是我们最常用，也是最普遍的两种集合的表示方法．前者简单直观，一个对象是否在其中一目了然，但只能表示一些比较简单的集合．后者具有普遍的意义，有时解读起来并不容易，高考压轴题有些具有集合背景，首先就需要对一个由描述法给出的集合进行解读，我们会在秋季时再看．除了这两种表示方法之后，还有两种集合的特殊的表示方法，一种是在后面讲的集合的相互关系中常常遇到，称为图示法，也叫维恩图．还有一种方法—区间表示法可以表示一类特殊的连续数集．

考点3：集合的表示法——图示法与区间表示法

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知识点睛

⑶ 图示法：用平面内的一个封闭曲线的内部表示一个集合，这个区域通常叫做维恩（Venn）图．

图示法常用在表示集合的相互关系与运算中．见板块1.2与板块1.3．

b?R，且a?b， ⑷ 区间表示法：设a，定义 {x|a≤x≤b} 名称 闭区间 开区间 左闭右开区间 左开右闭区间 符号 [a，b] (a，b) aaaaa数轴表示 bx {x|a?x?b} {x|a≤x?b} {x|a?x≤b} {x|x≥a} {x|x≤a} bx bx bx x [a，b) (a，b] [a，??) (??，a] 一类特殊的区间 {x|x?a} {x|x?a} ax (a，??) (??，a) ax a实数a与b都叫做相应区间的端点；“??”读作“正无穷大”， “??”读作“负无穷大”．

实数集R也可以用(??，??)表示．

练习4：将下面的集合表示成区间：

⑴{x|?1?x≤2}；⑵{x|2x?4?0}；⑵{x|4?2x≥0}．

答案：⑴(?1，2]；⑵(2，??)；⑶(??，2]．

<教师备案> 区间是集合的一种表示方法，[1，2]就表示一个集合，不需要用x?[1，2]表示一个集合．

引入区间表示法后能进一步看出描述法中的字母只是一个符号，没有本质的意义． 如：{y|y?x2?1，x?R}用区间表示即为[1，??)，与y无关．

x 3?可以用来表示区间，也可以用来表示一个点，可以根据情况在直角坐标系下，记号?2，区分．

【例4】 把下列集合表示成区间

⑴{x|x≤1}；⑵{y|y??x2?2x}；⑶{y|y?2x2?2x?1，?1?x?1}． ?1?1]．⑵(??，1]；⑶?，5?． 【解析】 ⑴[?1，?2?

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