高中数学新人教版选修2-2课时作业：第一章 导数及其应用1.2.1几个常用函数的导数基本初等函数的导数公式

(3)∵y＝－2sin (1－2cos) 24

＝2sin (2cos－1)＝2sin cos ＝sin x，

2422∴y′＝(sin x)′＝cos x. (4)∵y＝log2x－log2x＝log2x， ∴y′＝(log2x)′＝二、能力提升

8．已知直线y＝kx是曲线y＝e的切线，则实数k的值为( ) 11

A. B．－ C．－e D．e ee答案 D

解析 y′＝e，设切点为(x0，y0)，则

xx2

x2

xx2

xxx1

. x·ln 2

y0＝kx0， ①??

?y0＝ex0， ②??k＝ex0， ③

∴ex0＝ex0·x0，∴x0＝1，∴k＝e. x

9．(2013·江西)设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(e)＝x＋e，则f′(1)＝________. 答案 2

解析 设e＝t，则x＝ln t(t>0)， ∴f(t)＝ln t＋t 1

∴f′(t)＝＋1，

xxt∴f′(1)＝2.

10．求下列函数的导数： (1)y＝xx；(2)y＝x；(3)y＝

37

－15；

x(4)y＝ln 3；(5)y＝xx(x>0)．

?1333

解 (1)y′＝(xx)′＝(x)′＝x2＝x.

22

32(2)y′＝7x.

5－5－6

(3)y′＝(－x)′＝5x＝6.

6

x(4)y′＝(ln 3)′＝0.

(5)因为y＝xx，所以y＝x，

3

52

55535xx?12所以y′＝(x)′＝x＝x2＝. 222

5211．已知f(x)＝cos x，g(x)＝x，求适合f′(x)＋g′(x)≤0的x的值． 解 ∵f(x)＝cos x，g(x)＝x，

∴f′(x)＝(cos x)′＝－sin x，g′(x)＝x′＝1， 由f′(x)＋g′(x)≤0，得－sin x＋1≤0， 即sin x≥1，但sin x∈－1,1]， π

∴sin x＝1，∴x＝2kπ＋，k∈Z.

2

12．已知抛物线y＝x，直线x－y－2＝0，求抛物线上的点到直线的最短距离．

解 根据题意可知，与直线x－y－2＝0平行的抛物线y＝x的切线，对应的切点到直线x－y－2＝0的距离最短，设切点坐标为(x0，x0)，则y′|x＝x0＝2x0＝1， 1?11?所以x0＝，所以切点坐标为?，?， 2?24?切点到直线x－y－2＝0的距离

2

2

2

d＝?1－1－2??24???722＝8， 72所以抛物线上的点到直线x－y－2＝0的最短距离为. 8三、探究与拓展 13．设f0(x)＝sin x，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N，试求

f2 014(x)．

解 f1(x)＝(sin x)′＝cos x，

f2(x)＝(cos x)′＝－sin x， f3(x)＝(－sin x)′＝－cos x， f4(x)＝(－cos x)′＝sin x， f5(x)＝(sin x)′＝f1(x)， f6(x)＝f2(x)，…，

fn＋4(x)＝fn(x)，可知周期为4，

∴f2 014(x)＝f2(x)＝－sin x.