理论力学 第8章 习题解答

解：取两个相同的小球A和B连同刚性杆为研究对象，碰撞前两球具有相同的速度 v0?2gh，

因假定所有碰撞接触处是光滑的，所以碰撞后小球的速度与接触面垂直，如图所示. 列出碰撞方程

INAcos45??mvAx?mvBx，

题8-31图

INAsin45??INB?mvAy?mvBy???2mv0?，

INBllll?INAsin45??mvBy?mvAy. 2222上面3个方程含有6个未知量，需联建立3个补充方程 恢复因数：eA?? eB??vAxcos45??vAysin45??v0cos45?，

，

杆受冲力作用

vBy?v0AB为刚性杆： vAx?vBx.

联立上面6个方程，解得 INA?2mv0，INB?2mv0，vAx?vBx?v0，vAy?0，vBy?v0. 2于是碰撞后球A的速度和杆AB的角速度为 vA?

vBy2gh2gh，??. ?ll28-32 质量为m、半径为R的均质圆柱体，以质心速度vC在水平面上作纯滚动，向前运动

过程中，突然遇到高度为 h的凸台，发生完全非弹性碰撞如图所示。试求圆柱体不脱离点A滚上凸台继续运动的条件。

解：取圆柱体为研究对象. 碰撞前圆柱体质心的动量为

p0?mvC， 圆柱体相对质心的动量矩为

题8-32图

1vLC0?JC?0， JC?mR2,?0?C.

2R从而圆柱体对A点的动量矩为

LA0?JC?0?p0?R?h?. 碰撞后圆柱体对A点的动量矩为 LA1?JA?1， JA?3mR2 2圆柱受冲力作用

根据碰撞动量矩守恒定律

LA1?LA0，JA?1?JC?0?p0?R?h?， 解得：?1??1???2h?vC?. 3R?R 圆柱体在此初角速度下能够绕A点滚上凸台，须有

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112JA?2?JA?12??mgh 22即

2?2??12?4gh?0， 3R2

圆柱绕A点转动时的 受力图

?2h?24gh. ?1??vC?3?3R?此外，还须确保圆柱绕A点转动时不脱离A点. 圆柱绕A点转动时

的角速度由动能定理求得

211JA?2?JA?12??mg?h?Rcos??R?， 224g22?h?Rcos??R?. 解得 ???1?3R2

按质心运动定理

nnn ma， aCs?FA?R?2 C?mgco?nn解得圆柱不脱离A点的条件为 FA?mgco?s?maC?0

?2h?2g即 ?1??vC??7Rcos??4?R?h??， ?0?????.

3?3R?显然上式只需当???时满足就行了，此时cos???R?h?R，代入上式，化作

?2h?2?1??vC?g?R?h?. ?3R?圆柱体不脱离点A滚上凸台继续运动的条件为

224gh?2h?2??1??vC?g?R?h?. 3?3R?4gh?g?R?h? 进一步得到凸台高度需满足如下条件 33 h?R.

7由

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